Fonction polynôme

dérivabilité ( en justifiant par un résultat du cours) de chacune des fonctions suivantes : a) f définie sur par f(x) = x 2cos(x) b) g définie sur par g(x) = 3x 4 + x 3 + x 2 + x – 1 c) h définie sur par h(x) = [pic] d) i définie sur ]- ; -2 [ [pic]] -2 ; + [ par i(x) = [pic] . Exercice 2 : (4 points) On considère la fonction f définie et dérivable sur I = ] 0 ; + [ par f(x) = x . a) Déterminez sa fonction dérivée. b) En déduire la limite de [pic] quand x tend vers

, 2 (iii) an bn = 2 (le rectangle de côtés an et bn a pour aire 2). 1. Représentez cette suite de rectangles de côtés an et bn . 2. Démontrez successivement que : ∀n, bn < an ; (an )n∈N décroissante ; (bn )n∈N croissante. 3. Calculez an − bn en fonction de an−1 − bn−1 et an . Montrez que l’on a l’inégalité : (an−1 − bn−1 )2 an − bn < . 4 4. Calculez les premiers √ termes de la suite a1 , a2 , . . . , a6 . Combien de décimales exactes de 2 obtenez-vous à chaque pas ? Utilisez l’inégalité précédente

2009 – 2010 Lundi 26 avril (1h) a) Quel théorème utilise-t-on pour calculer la limite d’une fonction polynôme en + ∞ ou − ∞ ? La limite d’une fonction polynôme en + ∞ (respectivement en − ∞ ) est égale à la limite en + ∞ (respectivement en − ∞ ) de son terme de plus haut degré. b) Quel théorème utilise-t-on pour calculer la limite d’une fonction rationnelle en + ∞ ou − ∞ ? La limite d’une fonction rationnelle en + ∞ (respectivement en − ∞ ) est égale à la limite en + ∞ (respectivement en

Théorème Le polynôme Irr a K est irréductible dans K X . Démonstration Sinon, on pourra l’écrire sous la forme Irr a K gh où g et h sont deux polynômes de degré inférieur au degré n de Irr a K . Mais, nous avons qui implique g a 0 ou h a 0. Dans le premier cas, nous aurons g I a et Irr a K divise g, et dans le second cas, h I a et Irr a K divise h ce qui est impossible vu les degrés de ces polynômes. Remarque Nous avons Le théorème précédent justifie la notation Irr a K pour le polynôme minimal

La formule de Taylor et les développements limités formule I) La formule de Taylor 1.1 ) Formule de Taylor avec reste intégral On considère une fonction de classe (c’est-à-dire fois dérivables et à dérivées continues, en particulier la -ième) dans un intervalle ouvert contenant un réel En pratique il s’agira surtout de fonctions de classe On a la formule suivante (appelée formule de Taylor avec reste intégral (ou reste de Laplace) : Ce que l’on écrit habituellement : Cette formule se démontre

Fichier .pdf du cours en vid´o du mˆme nom e e La d´rivation e D´riv´e des fonctions usuelles e e Ce cours porte exclusivement sur la notion de d´riv´e relative aux fonce e tions r´elles usuelles. e 1 L’id´e g´n´rale e e e Une fonction r´elle est un op´rateur qui associe automatiquement a un e e ` nombre r´el, appel´ ant´c´dent, un autre nombre r´el, appel´ image. e e e e e e Une fonction est telle qu’un ant´c´dent n’a qu’une seule image, mais qu’une e e image peut

Continuité Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dira que « f est continue sur I » si l’on peut tracer sa courbe représentative sans lever le crayon. Exemples fondamentaux Les fonctions polynômes (dont les fonctions affines), la fonction racine carrée, les fonctions rationnelles (dont la fonction inverse) sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition. Le théorème des valeurs intermédiaires Soit f une fonction définie sur un intervalle [ a;

l’observation astronomique dès les années 1950. Grâce à de tels systèmes, les télescopes ont la possibilité de s’affranchir des imperfections du front d’onde, liés à la perturbation atmosphérique. En récupérant les fronts d’onde sur un miroir déformé en fonction de la forme du front d’onde, on peut « annuler » la différence de marche introduite arbitrairement par l’hétérogénéité de l’indice du milieu traversé par le front d’onde. Cette hétérogénéité correspond à des processus aléatoires de tourbillonnement

−iθ/2 = −i 1−z 1 − eiθ 2i sin(θ/2) sin(θ/2) e (e − eiθ/2 ) qui est bien un élément de iR. Remarquons que l’on a le droit d’effectuer ce calcul car sin(θ/2) ne s’annule pas. Réciproquement, supposons que 1+z = ia, avec a un réel. On va exprimer z en fonction de a, 1−z puis calculer son module. Il vient : −1 + ia 1+z = ia ⇐⇒ 1 + z = ia(1 − z) ⇐⇒ z(1 + ia) = −1 + ia ⇐⇒ z = . 1−z 1 + ia On en déduit que √ −1 + ia 1 + a2 =√ = 1, 1 + ia 1 + a2 ce qui prouve la réciproque. Exercice 8 - Égalité dans l’inégalité

l’observation astronomique dès les années 1950. Grâce à de tels systèmes, les télescopes ont la possibilité de s’affranchir des imperfections du front d’onde, liés à la perturbation atmosphérique. En récupérant les fronts d’onde sur un miroir déformé en fonction de la forme du front d’onde, on peut « annuler » la différence de marche introduite arbitrairement par l’hétérogénéité de l’indice du milieu traversé par le front d’onde. Cette hétérogénéité correspond à des processus aléatoires de tourbillonnement