Fonction polynôme

www.mathsenligne.com CONTENUS 2N3 - FONCTION CARRE ET SECOND DEGRE CAPACITES ATTENDUES Expressions algébriques Transformations d’expressions ƒ Associer à un problème une expression algébrique. algébriques en vue d’une ƒ Identifier la forme la plus adéquate (développée, résolution de problème. factorisée) d’une expression en vue de la résolution du problème donné. ƒ Développer, factoriser des expressions polynomiales simples ; transformer des expressions rationnelles simples. Équations Résolution

MATHéMATIQUES 1ère S v 06/09 SOMMAIRE Sommaire…………………………………………………………………….1 Partie A : COURS…………………………………..............................3 Chapitre I : Equations et inéquations du second degré……………………………...4 Chapitre II : Fonctions numériques………………………………………………….8 Chapitre III : Limites et comportements asymptotiques...…………………………15 Chapitre IV : Dérivation et applications………………………………...…………19 Chapitre V : Suites numériques………………………………………………...….22 Chapitre VI : Statistiques et probabilités………………………………………

......5 Second degré : Tableau récapitulatif...............................................................................................................6 1. Forme canonique Définition On appelle trinôme du second degré, ou polynôme de degré 2, toute fonction P, définie par P (x ) = ax 2 + bx + c (avec a, b, c Î R et a ¹ 0 ) Méthode (Obtention de la forme canonique) Soit le trinôme P (x ) = ax 2 + bx + c . b c P (x ) = a x 2 + x + a a b b 2 b = a x2 + 2 ´ x + 2a 2a 2a b 2

Polynôme en une indéterminée || http://mpsiddl.free.fr || david Delaunay L’anneau des polynômes Exercice 1 Résoudre les équations suivantes : a) Q 2 = XP 2 d’inconnues P ,Q ∈ K [X ] b) P P = P d’inconnue P ∈ K [X ] . Exercice 2 On définit une suite de polynôme (Pn ) par P0 = 2, P1 = X et ∀n ∈ ℕ, Pn + 2 = XPn +1 − Pn . a) Calculer P2 et P3 . Déterminer degré et coefficient dominant de Pn . b) Montrer que, pour tout n ∈ ℕ et pour tout z ∈ ℂ∗ on a Pn (z + 1 z ) = z n + 1 z n . c) En déduire une

{ j ,− j ,  ,− } . z 3=1 ⇔ z =1 , j où j 2 =1 a 4 solutions dans ℂ : 1 , i , -1 ,-i −1i  3 ( on rappelle qu'on pose j= et qu'on a z 4 Q z = z− j z j z−  z  j j En regroupant les racines conjuguées on obtiendra des polynômes du second degré à coefficients réels . Q z = z − j z −  z  j z  n= z 2z 1 z 2−z 1 j j Ex 2 Montrer que l'équation : P  z= z 31−i  z 24−i  z− 4i=0 a une solution imaginaire pure ib avec b ∈ℝ . En déduire une factorisation

x=-b2a 2. Etablir le tableau de signes de la fonction f(x)= ax² + bx + c Il faut prévoir les différents cas possibles en fonction du signe du déterminant et n’afficher des résultats que si c’est nécessaire. Si ∆>0 : ax2+bx+c | | x₁ | | x₂ | | | Signe de a | 0 | Signe contraire de a | 0 | Signe de a | Si ∆=0 : ax2+bx+c | | x | | | Signe de a | 0 | Signe de a | 3. Insérer dans la feuille excel le graphique de la fonction. Rapport Résolution de l’équation. Il faut prévoir

sont pas autorisées Question de cours 1. Déterminer la (ou les) fonctions trinômes du second degré f vérifiant les conditions suivantes : ses racines sont − 1 et 2 et on a f (1) = 4. On sait qu’un tel trinôme s’écrit sous forme factorisée f (x = a(x + 1)(x − 2). De f (1) = 4, il résulte que f (1) = a × (−1) donc −2a = 4 soit a = −2. En développant l’expression ainsi obtenue, il résulte : f (x) = −2x2 + 2x + 4 . 2. Soit h la fonction définie sur R par h(x) = 5x2 + 3x − 2. a. Factoriser h(x) ; 2 2

mathématiques, un développement limité (noté DL) d'une fonction en un point, est une approximation polynomiale de cette fonction au voisinage de ce point，c'est-à-dire l'écriture de cette fonction sous la forme de la somme : d'une fonction polynôme dont le degré est appelé l'ordre du développement ; et d'un reste qui peut être négligé lorsque la variable est suffisamment proche du point considéré. En physique, il est fréquent de confondre la fonction avec son développement limité, à condition que l'erreur

. 3 1.2 Rappels généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 Pour les racines d'un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Division euclidienne 5 1.2.3 Théorème de Weierstrass 1.3 Polynômes de Lagrange 1.4 Polynômes de Newton 1.5 * Polynômes d'Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 novembre 2014 Enoncés 1 Polynômes Polynômes complexes L’anneau des polynômes Exercice 6 [ 00271 ] [correction] Soit P ∈ C [X] non constant et tel que P (0) = 1. Montrer que : ∀ε > 0, ∃z ∈ C, |z| < ε et |P (z)| < 1 Exercice 1 [ 02127 ] [correction] Résoudre les équations suivantes : a) Q2 = XP 2 d’inconnues P, Q ∈ K [X] b) P ◦ P = P d’inconnue P ∈ K [X]. Exercice 7 [ 03342 ] [correction] Soit P = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈