Fonction polynôme

reiθ o` r sera son module et θ son argument. e u Exercice 3 1. Montrer que la fonction f d´finie par f (x) = eix est 2π-p´riodique. e e 2. Exprimer Arg(z) en fonction de Re(z) et de Im(z). 3. Calculer |eiθ |. On obtient la repr´sentation normale des nombres complexes non nuls : z = reiθ o` e u r = |z| > 0. 4. Calculer, pour tout entier relatif k, |e2ikπ |. 5. Exprimer le module et l’argument de z1 z2 et de z1 en fonction de |z1 |, |z2 |, Arg(z1 ) et Arg(z2 ). z2 6. repr´senter dans le plan complexe

Dérivée et sens de variation d’une fonction. (Savoir le maxi et MINI) Fonction définie sur un intervalle f(x) = x²- 6x +1 Calculer la dérivée (VOIR TABLEAU) f’(x)= 2x – 6 Chercher la valeur de x 2x – 6 = O 2x = 6 x = 6 : 2 = 3. (On applique la règle «  signe de a = 2 après le o », donc + après le 0. CHERCHER LA VALEUR DE X QUI ANNULE LA DERIVEE (CHERCHER LE SIGNE DE a.) ( Dresser le tableau de variation Tracer les flèches. positionner f(x)

ECRICOME 2007 − Voie Technologique − Correction Page 1 Correction Ecricome 2007 Voie technologique La correction comporte 10 pages. Exercice 1 1.1 Etude d’une fonction g auxiliaire 1. _ (a) Soit P la fonction polynomiale définie sur R par P (x) = 3x3 − x − 2. Comme P (1) = 0 et P 0 (1) = 8 6= 0 puisque P 0 (x) = 9x2 − 1. Ainsi : P est factorisable par x − 1 (b) Nous pouvons donc écrire que : ¡ ¢ P (x) = (x − 1) ax2 + bx + c ¢ ¡ = (x − 1) 3x2 + bx + 2 en identifiant le coefficient

d’´ventuelles simplie e e fications de l’´quation consid´r´e. Ici, l’expression de l’´quation ne peut pas e ee e ˆtre simplifi´e. e e La m´thode consiste a calculer le discriminant ∆ de l’´quation, puis a envie ` e ` sager les racines en fonction de son signe. ∆ = b2 − 4ac ∆ = 22 − 4 × 4 × 1 ∆ = 4 − 16 ∆ = −12 Le discriminant ∆ de l’´quation est n´gatif. e e L’´quation du second degr´ 4x2 +2x+1 = 0 n’a donc aucune racine (dans R). e e 3 5.2 Exercice 2 R´soudre l’´quation

3. La valeur de l’aire maximale est – (– 25) = cm . 4 4 4. Valeur approchée 19,63 cm2. = Ά Partie D π 25π ; 1. – (x2 – 10x) = 4 4 –x2 + 10x – 25 = 0 ; (x – 5)2 = 0. 2. x = 5 cm. · GeoGebra sur papier 1. a) On a saisi la fonction f : f(x) = 2x2 – 5x – 3. b) On fait apparaître les points d’intersection : on sélectionne on déroule, et on sélectionne intersection de 2 objets. 2. a) On fait apparaître le tableur en cliquant sur affichage dans la boîte du menu et on choisit

Série De Revision Parti I Exercice 1: Soit f la fonction définie par ?(?) = 1 √−x²+4x−3 1. Déterminer Df , le domaine de définition de f. 3 2. Calculer l’intégral ∫2 fx. dx Aide : On pourra écrire –x²+4x-3 sous forme canonique puis faire un changement de variable. ∫ Exercice 2 : Calculer la primitive 3x4 +2x²+1 x3 (x2 +1)² dx k4 Exercice 3 : Calculer limn→∞ ∑n k=1 n5 Exercice 4 : Soit φ la fonction définie sur ℝ par φ(x) = b Montrer que ∀(a, b) ∈ ℝ , on a : ∫a e−t² dt = √π 2 2 x ∫

PROPRIÉTÉ f étant dérivable sur I, pour tout intervalle J inclus dans I : • Si f’(x) > 0, pour tout x de J, alors f est strictement croissante sur J. (Symbolisé par une flèche( dans le tableau de variations) • Si f’(x) < 0, pour tout x de J, alors f est strictement décroissante sur J. (Symbolisé par une flèche ( dans le tableau de variations) • Si f’(x) = 0, pour tout x de J, alors f est constante sur J. (Symbolisé par une flèche → dans le tableau de variations) Remarque : On utilise

Limites : Résumé de cours et méthodes 1 DÉFINITION Limite d’une fonction en +∞ et en −∞ 1-1 Limite infinie en +∞ et en −∞ Soit f une fonction définie sur un intervalle admettant +∞ comme borne supérieure.On dit que f a pour limite +∞ en +∞ (ou que f (x) tend vers +∞ quand x tend vers +∞) lorsqu’on peut toujours trouver un x assez grand pour que f (x) soit aussi grand que l’on veut. On écrit alors que lim f (x) = +∞. x→+∞ ¼ Remarque : on définit de la même façon, ¼ ¼ ¼ x→+∞

en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. UTILISATION DES POLYNOMES DE TCHEBYCHEV EN ANALYSE Notations : On note E l’espace vectoriel des applications continues de [-1,1] dans ! . On désigne par E n l’espace vectoriel des fonctions polynomiales de [-1,1] dans ! de degré inférieur ou égal à n où n est un entier naturel. On pourra confondre les expressions : polynôme et fonction polynomiale. Si f est un élément de E, on pose f ∞ = sup f(x) . x ∈[−1 ,1 ] Les parties

grand merci. G. Bisson Paris, juin 2006 Nancy, mai 2009 Notations usuelles f :X →Y f :X Y la fonction f est injective la fonction f est surjective l’ensemble des parties de l’ensemble E l’ensemble des fonctions de X dans Y la partie entière du réel x la valuation p-adique de n le coefficient binomial « k parmis n » le symbole de Kronecker le ne groupe symétrique le ne groupe alterné les polynômes de degré ≤ n à coefficients dans l’algèbre des matrices carrés de taille n à coefficients dans le groupe