Fonction rationnelle

chaque nombre naturel par deux, je ne fais rien disparaître, je transforme, et je n’ai donc pas moins de nombres avant qu’après. Yannick, se tenant la tête    DossierL’infini Oui, et puis les nombres naturels, les entiers, les nombres rationnels, les fonctions, les polynômes, les … Yannick    Wô minute, on attend un peu. Je suis com-plè-te-ment perdu. Annick s’interrompt, prend une feuille et trace un diagramme. Ok, ça va, j’ai compris. Mais qu’est-ce que tu veux dire, l’infini, c’est gros

problèmes implicant des suites. Plan du chapitre : 1) Corps des réels : 1.1 : Notion de fonctions et notations. 1.2 : Construction sommaire de R. 2) Suites numériques: 2.1 : Définitions et notations. 2.2 : Suites particulières. 2.3 : Suites monotones (croissance ou décroissance) 2.4 : Nature (convergence ou divergence) d’une suite 2.5 : Etude de suites particulières. 1) Corps des réels : 1.1 : Notion de fonctions et notations. On suppose acquise la notion intuitive d’ensemble. On détermine un ensemble

puissances de n entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Récurrence, résolution de systèmes, polynômes 7 8 9 10 12 13 Calcul de sommes et de produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Suites numériques, fonctions trigonométriques Ceci n’est pas le triangle de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Techniques de calcul Calcul de cos Trigonométrie π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D∈Z0 D L'ensemble des nombres rationnels est obtenu en complétant l'ensemble des nombres entiers : N ⊂ Z ⊂ Q. Remarques  Dans Q, la division est interne. Tout nombre rationnel est un nombre décimal limité ou un nombre décimal illimité périodique. Il suffit en effet d'effectuer la division du numérateur N par le dénominateur D. Deux cas peuvent se présenter : 1) La factorisation première de D ne contient que les facteurs 2 et 5. Le nombre rationnel est alors un nombre décimal limité

ce qui indique pour la première fois qu’il existe des ensembles infinis de différentes tailles. Cantor est aussi le premier à réaliser l’importance de la bijection de laquelle il s’est servi pour sa théorie des ensembles. Une bijection est une fonction bijective pour laquelle tout élément de son ensemble d’arrivée a un seul antécédent, c’est-à-dire qu’il est l’image d’un seul élément de son ensemble de départ. Bref, dans deux ensembles, chaque élément d’un ensemble est relié à un et un seul élément

complexes I. Nombres réels Weierstrass (1863) et Dedekind (1872) furent les premiers à proposer une construction satisfaisante de ℝ ... que nous ne présenterons pas. Parmi les nombres réels, ceux qui s’écrivent comme rapport de deux entiers sont dits rationnels, ils forment l’ensemble ℚ . Les autres sont dits irrationnels. 1°) Opérations dans ℝ ℝ est muni de deux opérations + et × i.e. de deux applications : ℝ×ℝ → ℝ ℝ×ℝ → ℝ et . (x , y ) ֏ x + y (x , y ) ֏ x ×y Propriétés de l’addition : ∀a ,b

rappelons les résultats essentiels. On constatera par ailleurs que, par simple comparaison avec les fonctions de référence, on peut déterminer facilement les limites d'une fonction donnée aux bornes de son ensemble de définition. 1. De quelles fonctions faut-il connaître les limites ? • Il faut connaître les limites en des fonctions de référence (racine, carré, cube et inverse) : Seule la fonction inverse a une limite finie en (lorsque x tend vers tend vers 0 par valeurs supérieures à 0, donc positives)

2010 Lundi 26 avril (1h) a) Quel théorème utilise-t-on pour calculer la limite d’une fonction polynôme en + ∞ ou − ∞ ? La limite d’une fonction polynôme en + ∞ (respectivement en − ∞ ) est égale à la limite en + ∞ (respectivement en − ∞ ) de son terme de plus haut degré. b) Quel théorème utilise-t-on pour calculer la limite d’une fonction rationnelle en + ∞ ou − ∞ ? La limite d’une fonction rationnelle en + ∞ (respectivement en − ∞ ) est égale à la limite en + ∞ (respectivement en − ∞

place du disque utilisée par le répertoire courant wc : Comptage des mots, lignes ou caractères file : Donne le type de fichier grep -c : Trouver une expression rationnelle dans un fichier: (grep) donne le nombre de fois ou l'expression rationnelle a été trouvée dans le fichier: grep - n : Pour rechercher des expressions rationnelles commencent par un tiret Autres Commandes pwd : Où suis-je ? man (et nom de la commande): Rechercher des informations sur une commande. which : Permet de connaître

part 0, un nombre n’a pas d’opposé dans ℕ * = − {0} : ensemble des entiers relatifs = { …, – 2 , – 1 , 0 , 1 , 2 , … } = { n, -n ; n ∈ ℕ } A part -1, 1, un entier relatif n’a pas d’inverse dans = − {0} p p p * : ensemble des nombres rationnels = { ;( p, q ) ∈ × } avec 1 = 2 ⇔ p1.q2 = p2 .q1 } q q1 q2 * * = − {0} Mais π , * + 2,e∉ * : ensemble des nombres réels = − {0} : ensemble des réels strictement positifs 2 Mais les racine i et –i de x²+1 ne sont