Fonction rationnelle

, ce qui implique l'éxistence d'un a c dans [a, b] tel que : b f (t)g(t)dt g(c) = a b f (t)dt a 6 CHAPITRE 1. INTÉGRALE SUR [A, B] Intégration par partie : Proposition : Soient u et v deux fonctions de classe C∞ sur [a, b] b , alors on a : b a u (t)v(t)dt = [u(t)v(t)]b − a x u(t)v (t)dt a x Démonstration : On pose : F (x) = a u (t)v(t)dt et G(x) = u(x)v(x)−u(a)v(a)− a u(t)v (t)dt. F (a) = 0 et G(a) =

base du calcul différentiel. Objectifs 1. Les dérivées : mesure du changement d’une fonction si les données (variables) changent. – But : Comment tracer le graphe d’une fonction. 2. Les vecteurs : objet géométrique qui a une longueur et une direction. – But : Comment écrire les équations de droites et de plans. De plus, nous allons : – étudier les fonctions exponentielles et logarithmiques, – revisiter les fonctions trigonométriques, – décrire les relations entre les droites et les plans dans l’espace

et ne se veut en aucun cas e e exhaustif. Les pr´ -requis concernent des aspects math´ matiques tels que la manipulation de fonctions et de suites, le calcul e e int´gral et les s´ ries, la transform´ e de Laplace; ainsi qu’une bonne connaissance de l’Automatique des syst` mes lin´ aires e e e e e a temps continu. Partant de proc´ d´ s physiques mod´ lis´ es par des fonctions de transfert en p (variable de Laplace) nous ` e e e e aborderons successivement la mod´ lisation de syst` mes discrets et

certainement des fautes de frappe et des erreurs. Toute correction apportée à ce texte sera la bienvenue. ii iii Notations et identités remarquables N = ensemble des entiers naturels Z = ensemble des entiers relatifs Q = ensemble des nombres rationnels R = ensemble des nombres réels C = ensemble des nombres complexes ∃ ∀ ∈ ≤ ≥ “ il existe ” “ pour tout ” “ appartient ” “ plus petit ou égal ” “ plus grand ou égal ” (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 (a − b)(a + b) = a2 − b2 (a

Chapitre 1 : Rappels de l’algèbre Chapitre 2 : Quelques notions de la géométrie analytique Chapitre 3 : Fonctions Chapitre 4 : Fonctions (suite) Quelques propriétés de la fonction affine Chapitre 5 : Fonctions (suite), Variation, limite, continuité Chapitre 6 : Dérivée d’une fonction Chapitre 7 : Applications de la dérivée d’une fonction Chapitre 8 : Fonction exponentielle Chapitre 9 : Fonction logarithmique Chapitre 10 : Asymptote d’une courbe 1 Chapitre 1 Rappels de l’algèbre A. Les nombres

dérivabilité ( en justifiant par un résultat du cours) de chacune des fonctions suivantes : a) f définie sur par f(x) = x 2cos(x) b) g définie sur par g(x) = 3x 4 + x 3 + x 2 + x – 1 c) h définie sur par h(x) = [pic] d) i définie sur ]- ; -2 [ [pic]] -2 ; + [ par i(x) = [pic] . Exercice 2 : (4 points) On considère la fonction f définie et dérivable sur I = ] 0 ; + [ par f(x) = x . a) Déterminez sa fonction dérivée. b) En déduire la limite de [pic] quand x tend vers

de fractions rationnelles. I.2.1. Définition. • Considérons une fonction f de la variable réelle t supposée nulle pour les valeurs négatives de t. La transformée de Laplace de f, notée F est une fonction de la variable complexe p définie par +∞ F(p) = ∫ e − p.t .f ( t ).dt 0 Cette fonction n’est définie que pour les valeurs de p telles que l’intégrale converge… La convergence de cette intégrale impose notamment que lim (f ( t ).e − p. t ) = 0 t → +∞ • rq: Les fonctions étudiées dans

un d´veloppement e e e e e d´cimal illimit´. e e Nous admettons donc comme intuitive, l’existence de l’ensemble IR des nombres r´els, e v´rifiant les propri´t´s suivantes: e ee 1 a) IR est un corps commutatif qui contient le corps des nombres rationnels Q. L’addition et la multiplication de IR prolongent celles de Q. I I b) IR est muni d’une relation (dite) d’ordre, not´e x ≤ y qui v´rifie par e e d´finition les propri´t´s suivantes: e ee i) ∀x ∈ IR, x ≤ x, (r´flexivit´). e e ii) ∀x, y ∈ IR, x ≤ y

Limites – Comportement asymptotique Christophe ROSSIGNOL∗ Année scolaire 2009/2010 Table des matières 1 Limite d’une fonction en +∞, en −∞ 3 1.1 Limite infinie en +∞, en −∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Limite finie en +∞, en −∞ – Asymptote horizontale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Limite en un réel a 7 2.1 Deux exemples de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

admise des ensembles de nombres Conformément au programme, on admet l’existence et les principales propriétés des ensembles de nombres suivants : – l’ensemble N des entiers naturels. – l’ensemble Z des entiers relatifs. – l’ensemble Q des nombres rationnels. – l’ensemble R des nombres réels. – l’ensemble C des nombres complexes. On a bien sûr les inclusions strictes : N Z Q R C. On sera également amené à considérer les ensembles suivants (dont les noms ne sont pas fixés par l’usage, mais dont