Forme bilinéaire symétrique

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10 La trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11 Matrices symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12 Matrices antisymétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Le déterminant 3.1 3.2 3.3 Permutations et déterminants . . . . . .

d’une matrice . . . . . . . . . . . . 2.8 Matrices triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 La transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10 La trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11 Matrices symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12 Matrices antisymétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d’une matrice . . . . . . . . . . . . 2.8 Matrices triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 La transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10 La trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11 Matrices symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12 Matrices antisymétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d’une matrice . . . . . . . . . . . . 2.8 Matrices triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 La transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10 La trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11 Matrices symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12 Matrices antisymétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Cours optimisation On appelle problème d’optimisation la donnée d’une instance de la forme minimiser/maximiser f (x) sous les conditions gi (x) ≤ 0 ∀i ∈ {1, . . . , m} hj (x) = 0 ∀j ∈ {1, . . . , m } avec f : Rp → R une fonction objectif et gi , hj : Rp → R des fonctions de contraintes. L’ensemble des points {x ∈ Rp | gi (x) ≤ 0 ∀i ∈ {1, . . . , m}, hj (x) = 0 ∀j ∈ {1, . . . , m }} est appelé ensemble de candidats. S’il est non vide, on appelle solution du problème d’optimisation

I4 dans cet exemple) | Matrice diagonale | | notée diag(Dii) | Matrice triangulaire supérieure (Upper triangular matrix, U) | | | Matrice triangulaire inférieure (Lower triangular matrix, L) | | | Une matrice carrée A est dite symétrique si : Aji = Aij pour tout i différent de j 2 Opérations sur les matrices A Addition, soustraction L'addition et la soustraction des matrices se font terme à terme. Les matrices doivent avoir les mêmes dimensions : B Multiplication

maintenant à w2 .Les conditions sur les côtés horizontaux de K donnent : ∀x ∈ [0, 1], w2 (x, 0) = w2 (x, 1) = 0 w2 est un produit de fonctions sinusoïdales, hyperboliques ou anes (voir calcul cidessus). La condition précédente implique que w2 est de la forme : w2 (x, y) = sin(kπy)(A cosh( Comme w2 est nulle sur C4 , on a : kπx kπx ) + B sinh( )) n n ∀y ∈ [0, 1], w2 (0, y) = 0 2 Pour s'en convaincre, se reporter à la preuve de l'unicité de la solution u section suivante 6 On en déduit

y). Dans cette situation, on peut parler de convergence de suites et de continuité d’applications. 1. L’espace euclidien Rn Nous appelons indifféremment points ou vecteurs les éléments x, y, . . . de l’espace vectoriel Rn et les écrivons sous forme de vecteurs colonnes     y1 x1 .  .  y =  . . x =  . , . . xn yn La distance euclidienne entre deux points x, y ∈ Rn est donnée par la formule célèbre qui remonte à Pythagore : n d(x, y) = i=1 (xi − yi )2 . 2. Espaces vectoriels

clarté, nous nous intéressons dans cette section aux applications bilinéaires seulement, mais le cas multi-linéaire se généralise aisément. Définition 32 (APPLICATIONS MULTILINEAIRES) Soient E, F et G des espaces vectoriels normés, alors toute application ' : E ⇥ F ! G, est bilinéaire si : -pour tout x 2 E, '(x, .) : F ! G est linéaire, et -pour tout y 2 F , '(., y) : E ! G est linéaire également. 17 Proposition 22 Si ' est bilinéaire alors ' est continue , il existe k > 0, pour tout x 2 E, pour tout

2 Nombres de Pontryagin . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Nombres de Pontryagin normaux . . . . 2.2.2 Réseau et congruences de Stong . . . . . 2.3 Formule de la signature de Hirzebruch . . . . . 2.3.1 Groupe de Witt . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Forme d’intersection . . . . . . . . . . . v ix 1 1 1 2 2 3 4 5 5 6 8 8 9 10 11 13 13 13 14 15 17 17 18 19 19 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .