Forme bilinéaire symétrique

Exercice 1 [ 01410 ] [correction] Soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires d’un K-espace vectoriel E. Soient f une forme linéaire sur E, p la projection vectorielle sur F parallèlement à G et q = Id − p sa projection complémentaire. Montrer que l’application ϕ : E × E → K définie par ϕ(x, y) = f (p(x))f (q(y)) − f (p(y))f (q(x)) est une forme bilinéaire alternée sur E. Déterminant d’une matrice Exercice 5 [ 01414 ] [correction] ¯ Soit A = (ai,j ) ∈ Mn (C). On note A = (¯i,j ) ∈

Exercice 1 [ 01410 ] [correction] Soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires d’un K-espace vectoriel E. Soient f une forme linéaire sur E, p la projection vectorielle sur F parallèlement à G et q = Id − p sa projection complémentaire. Montrer que l’application ϕ : E × E → K définie par ϕ(x, y) = f (p(x))f (q(y)) − f (p(y))f (q(x)) est une forme bilinéaire alternée sur E. Déterminant d’une matrice Exercice 5 [ 01414 ] [correction] ¯ Soit A = (ai,j ) ∈ Mn (C). On note A = (¯i,j ) ∈

l’application f est bilinéaire. – pour tous vecteurs u et v de E, on a f (u, v) = f (v, u) (on dit que f est symétrique). – pour tout vecteur u de E, on a : f (u, u) 0 (on dit que f est positive). → − – pour tout vecteur u de E, on a : f (u, u) = 0 ⇔ u = 0 (on dit que f est définie). Rappelons que la bilinéarité s’écrit :  ∀ (u, u , v, v ∀ (α, β) )∈E ∈ R2 4  f (αu + βu , v) f (u, αv = αf (u, v) + βf (u , v) + βv ) = αf (u, v) + βf (u, v ) Si le caractère symétrique de f est établi, la

Montrer que q ∈ Q(E) ssi ∀x ∈ E, q(−x) = q(x) et (x, y) → q(x + y) − q(x) − q(y) est une forme bilinéaire sur E. Montrer que la deuxième condition seule ne suffit pas pour dire que q ∈ Q(E). 2: Montrer que q ∈ Q(E) ssi ∀x ∈ E, q(0) = 0 et (x, y) → q(x + y) − q(x − y) est une forme bilinéaire sur E. Montrer que la deuxième condition seule ne suffit pas pour dire que q ∈ Q(E). Exercice 2: Vérifier s’il sagit bien d’une forme quadratique : 1) E = Mn (R), S ∈ Sn (R), q(A) = tr(SAtA) 2)E = R3 , u, v ∈ E = R3

   ni eeeii)- Forme Bilinéaire dans Rn •Définition 1 on appelle forme bilinéaire symétrique sur Rn une forme bilinéaire f sur Rn (une application bilinéaire de Rn × Rn dans R ) telle que      xyfyxfRRyx nn ,,, • Exemple : 1) La forme bilinéaire f définie sur Rn par : est une forme bilinéaire symétrique. 2) Si est une forme bilinéaire symétrique si, et seulement si, la matrice A est symétrique   YXyxyxf n i ii

CAPES Exercices Corrigés Formes quadratiques 2009-2010 Exercice 1 Soit B une forme bilinéaire sur un espace vectoriel réel V et soit q sa forme quadratique associée. 1. Montrer l'identité de Cauchy q (q(u)v −B(u, v)u) = q(u) [q(u)q(v)−B(u, v)B(v, u)] . (1) 2. En déduire, si q est dé�nie positive, l'inégalité de Cauchy-Schwarz B(u, v)B(v, u) ≤ q(u)q(v). (2) Solution - 1. La formule s'obtient par un calcul direct utilisant la bilinéarité de B. En e�et pour tous u, v ∈ V , on a : q (q(u)v −B(u, v)u)

2006 ==================================================================== Plan ---- 1. Géométrie affine 1.1 Espaces affines 1.2 Sous-espaces affines 1.3 Repères 1.4 Applications affines 1.5 Le groupe affine 1.6 Convexité 2. Dualité et algèbre bilinéaire 2.1 Dualité 2.2 Formes quadratiques 2.3 Espaces vectoriels euclidiens 2.3.1 Sous-espaces, symétries, projections 2.3.2 Le groupe orthogonal 2.3.3 Orientations 2.3.4 Le groupe orthogonal d'un plan vectoriel euclidien 2.3.5 Angles de vecteurs 2.3

partie I de K[X] telle que : Œ (I, +) est un sous-groupe de (K[X], +),  ∀P ∈ I, ∀Q ∈ K[X], PQ ∈ I. Définition. Un idéal I de K[X] est prinicipal si et seulement si il est engendré par l’un de ses éléments c’est-à-dire si et seulement si il est de la forme I = PK[X] = {PQ, Q ∈ K[X]}. Théorème. (K[X], +, ×) est un anneau principal, c’est-à-dire que tout idéal de K[X] est prinicipal. 4) PGCD, PPCM, Bezout, Gauss. Théorème et définition. A et B sont deux polynômes non nuls. L’idéal engendré par A et B est

Soit E un espace vectoriel sur K de dimension finie. On note E ∗ = L(E, K) l’espace des formes linéaires sur E. Il est appelé l’espace dual de E. On a la propriété : dim E = dim E ∗ . Un sous espace vectoriel est un hyperplan si il est le noyau d’une forme linéaire non nulle, ce qui revient à dire que son noyau possède un supplémentaire de dimension 1, ou encore que sa dimension est dim E − 1 Soit B = (ei )i≤n une base de E, il existe une unique base B ∗ = (e∗ )i≤n de E ∗ appelée base duale de B telle

(soit I4 dans cet exemple) | Matrice diagonale | | notée diag(Dii) | Matrice triangulaire supérieure  (Upper triangular matrix, U) | | | Matrice triangulaire inférieure  (Lower triangular matrix, L) | | | Une matrice carrée A est dite symétrique si : Aji = Aij pour tout i différent de j II. Opérations sur les matrices II.A. Addition, soustraction L'addition et la soustraction des matrices se font terme à terme. Les matrices doivent avoir les mêmes dimensions : II.B. Multiplication