Formule 4

en fonction voir page 12 on pose .Par convention Réponse : Rappel : pour Il se peut que certaines réponses soient erronées ; merci de les signaler à l'adresse mcolin+07@phare.normalesup.org. 1 PCSI 2 Lycée Pasteur 2010/11 Exercice 4. Indication : Réponse : Pour et deux réels strictement positifs, simplier où Exercice 8. Indication : Réponse : Résoudre voir page 11 voir page 12 voir page 11 voir page 12 Pour réels et un entier naturel non nul, factoriser

de module 1 et d’argument π . 2 1) 2) Montrer que (1 + i)6 = −8i. On considère l’équation (E) : z 2 = −8i. a) Déduire de 1) une solution de l’équation (E). b) L’équation (E) possède une autre solution ; écrire cette solution sous forme algébrique. 3) 4) Déduire également de 1) une solution de l’équation (E ′ ) : z 3 = −8i. 2π On considère le point A d’affixe 2i et la rotation r de centre O et d’angle . 3 a) Déterminer l’affixe b du point B, image de A par r, ainsi que l’affixe c du point C, image de B

Généralisation : si Snp = n kp , montrer la formule de récurence de Pascal (1654) : k=0 p−1 (p + 1) Snp = (n + 1) p+1 − p+1 k k=0 Snk . (d) * Calculer dn = Sn4 et vérifier que dn = (6an − 1) bn /5. 2. : Remplir le tableau après avoir calculé les sommes correspondantes : ai,j = 1 ai j = j = i j i+j ij 1 i, j n ai 1 i j n 3. : (a) Calculer n min (i, j) . 1 i,j n n (b) En déduire la valeur de n max (i, j) , puis celle de 1 i,j n 1 i,j n |i − j| . 4. * Inégalité de Tchebychev : (a)

X- Combinatoire L’essentiel de la combinatoire tient en trois formules, ce qui est fort peu. Encore faut-il ensuite arriver à les appliquer correctement, ce qui est nécessite un certain entraînement. Dans ce contexte, ce que l’on appelle les combinaisons joue un rôle p majeur. On appelle Cn le nombre de façons de choisir un paquet de p objets dans un p ensemble de n objets. Signalons que ce nombre, que nous notons Cn , s’écrit aussi, dans la littérature mathématique récente, et américaine à l’origine

. . . . . . . . 31 Calcul de n p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 n p Propriétés des coefficients du binôme, formule du binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . 33 Quelques propriétés des . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Formule du binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 37 Produit scalaire dans le plan et l’espace Rappels sur le produit scalaire

fonction affine f sur IR, donc du type :" f(x) = Ax + B" , pour tout couple (a;b) de réels, on a, comme le montre un calcul sans difficulté particulière : f(x)dx = [A + Bx = (b - a)x , car  b 2 − a 2  =  b − a   b  a  Cette formule d'intégration est à rapprocher de celle qui donne l'aire d'un trapèze, si on interpréte, dans le cas où f est >0 sur [a ; b], l'intégrale de f comme l'aire du trapéze que définissent : • • • la courbe de f, l'axe des abscisses les deux droites d'équations

{ }. Mais « obtenir un chiffre pair » conduit à l’évènement { l’univers est A est bien une partie de . }.  Événement élémentaire : C’est un évènement qui ne contient qu’un seul résultat, qu’une seule issue d’une expérience aléatoire. Exemple 4 : Dans l’exemple 3, si nous considérons l’évènement B « obtenir le chiffre 6 » on a une seule issue { } possible. Cet évènement B est un évènement élémentaire.  Événement certain : C’est l’univers . C’est l’évènement dont la réalisation est certaine

P(x) un polynôme à coefficients entiers, et p un entier naturel au moins égal à 1. On pose : montrons que les coefficients de P(X) sont des entiers : en développant les par la formule du binôme et en posant le polynôme Q(X) est de degré égale à np c'est le produit de n polynômes de degré p, par la formule du binôme on peut exprimer le produit comme un polynôme donc de degré np et à coefficients entiers (une recurrence permet de le montrer en partant du produit de Cauchy de deux polynômes

FORMULE D'INVERSION DE PASCAL         ¡ Soient (ai) 0 i n et (bi) 0 i n des familles d'éléments d'un anneau commutatif A tels que : p k =0 ¢ ¡ ap = Alors : p k C p bk ∀p ∈ 0, n k =0 Preuve par récurrence : On considère la propriété ℘(p) suivante définie pour p ∈ 0, n : j ¢ ¡ k =0 p • D'après la relation ap = k =0 k C p bk particularisée avec p = 0, on obtient : a0 = b0. D'où ℘(0). • Montrons que : ∀p ∈ 0, n − 1 , ℘(p) Soit p ∈ 0, n − 1 . Supposons donc

EI 1 EI - EXERCICES DE PROBABILITES CORRIGES Notations 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) Les coefficients du binôme sont notés np . Un arrangement de n objets pris p à p est noté Apn . Si A est un ensemble fini, on notera |A| ou card A le nombre d’éléments de A. Si a et b sont des entiers tels que a ≤ b, on désigne par [[ a, b ]] l’ensemble [ a, b ] ∩ Z. Le symbole ⊥ ⊥ indique l’indépendance d’événements ou de variables aléatoires. On désigne par AC le complémentaire de A ou l’événement contraire de A. On