Formule 4

l'adhérence est incluse dans C (0 < r < r < |h| < R < R). On peut alors écrire la formule de Cauchy sur le lacet γ constitué du cercle Cr parcouru dans le sens direct, de la portion de rayon i [r , R ] joignant Cr et CR du cercle CR parcouru dans le sens indirect et de la même portion de rayon parcourue en sens inverse i [R , r ] (voir g 2). Ce lacet est homotope au point h dans C , on peut donc lui appliquer la formule de Cauchy (??) et il vient : g (h) = − 1 2iπ Cr g (z) 1 dz + z−h

fabriquées, 4 sont mauvaises. De combien de façon différentes peut-on en prélever 4 dans les cas suivants : a) les 4 pièces sont bonnes b) Une au moins d’entre elles est mauvaise. c) Deux au moins sont mauvaises. Solution Les réponses dépendent de l'expérience. D'après l'énoncé il n'y a pas répétition mais est-ce que l'ordre compte ? Tirages successifs, arrangements, ou tirage simultané, combinaisons ? a) Si l'ordre compte il y a A16 4 façons sinon une 16 4 ou 28 4  28

ne prend pas toutes les valeurs entières entre 0 et 6 mais seulement les valeurs paires. Exercice 1.4 Compléter les trous dans les égalités suivantes : • n uk+2 = k=3 http://laurentb.garcin.free.fr k=• • n−1 uk , uk = k=4 k=1 3 n+2 u• , n uk+1 = k=3 u• k=• © Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot Exercice 1.5 Calculer la somme ⑩ n k=1 1.5 ❿ 1 1 . − k n+1−k Sommation par paquets On a d’abord tout simplement

SESSION 2010 CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE (ENSI) FILIERE PC MATHEMATIQUES 1 PARTIE I A) 8−λ 4 −7 8−λ 4 −8 −4 − λ 8 = (1 − λ) = (1 − λ)(λ2 − 4λ) = −λ(λ − 1)(λ − 4). Par suite, f admet −8 −4 − λ 0 0 1−λ trois valeurs propres simples à savoir 0, 1 et 4 et on sait que f est diagonalisable. 1) χf = 2) Soit v = (x, y, z)  R3 . ∈  8x + 4y − 7z = 0 −8x − 4y + 8z = 0 ⇔ • v ∈ E0 = Ker(f) ⇔  z=0 z=0 . Donc E0 = Vect(v1 ) où v1 = (1, −2, 0). y = −2x   x − z = −4y  7x + 4y − 7z = 0 y=0 7 •

du mot initial mais dans un ordre différent. Déterminer le nombre d’anagrammes du mot « Marie » qui contient 5 lettres distinctes. 1ère lettre 5 choix 2ème lettre 4 choix 3ème lettre 3 choix 4ème lettre 2 choix 5ème lettre 1 choix Chacune des ces anagrammes est appelée une permutation des cinq lettres m, a, r, i, e. Il y a donc 5 × 4 × 3 × 2 × 1 anagrammes possibles, soit 120. 2) Définition : Pour tout entier n naturel non nul, le nombre n! , lu « factorielle n », est le produit des n entiers non

si x ∈] − 1, 1[, alors −x ∈] − 1, 1[. Soit donc x ∈] − 1, 1[ puis y = Artanh(x) (ce qui équivaut à x = tanh(y)). Puisque tanh est impaire, on a : Artanh(−x) = Artanh(−tanhy) = Artanh(tanh(−y)) = −y = −Artanhx. On a montré que : Artanh est impaire. 4.- Puisque tanh est dérivable sur R et que sa dérivée ne s’annule pas sur R, on sait que sa réciproque Artanh (définie sur ] − 1, 1[ à valeurs dans R) est dérivable sur ] − 1, 1[ et que, pour x ∈] − 1, 1[ : Artanh ′ (x) = 1 1 1 = = . 2 1 − x2 tanh (Artanh(x))

participation m. Si le joueur obtient 2 boules vertes, il peut continuer le jeu qui consiste à faire tourner une roue où sont inscrits des gains répartis comme suit : – sur 1 de la roue le gain est de 100 e, 8 – sur 1 de la roue le gain est de 20 e, 4 – sur le reste le joueur est remboursé de sa participation m. On appelle V l’événement « le joueur a obtenu deux boules vertes ». On appelle J l’événement « le joueur a obtenu 2 boules jaunes ». On appelle R l’événement « le joueur est remboursé de sa

Mihai Groupe 01 DISTANCE D’UN POINT À UNE DROITE Critère C Travail présenté à M. Pascu École secondaire Mont-Royal Le jeudi 9 octobre 2014 Notre professeur de mathématique nous a donné à prouver la formule d’une distance d’un point et une droite,qui est , en utilisant la projection orthogonale, dont les coordonées du point sont (h,k) et la règle de la droite est Ax+By+C. (1) Hypothèse:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Matrices, vecteurs, tableaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Quelques exemples élémentaires de graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Chapitre 2  Dunod – La photocopie non autorisée est un délit 1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie, sans justification. Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon. 1. On désigne par A et B deux évènements indépendants d’un univers muni d’une loi de probabilité p. 4 3 On sait que p(A ∪ B) = et p A = . 5 5 La probabilité de l’évènement B est égale à : a. 2 5 b. 2 3 c. 3 5 a. 1 2 2. On note X une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramètre λ = 0, 04. On rappelle que pour tout réel t