Formule 4

premier set (0,2). L'évènement "Nadal gagne le premier set et remporte le match" est l'évènement . Sa probabilité est égale à . Pour calculer la probabilité que Nadal remporte le match, additionne les deux précédents résultats. C'est la formule des probabilités totales. Raphaël Nadal a un peu moins de 3 chances sur 10 de remporter le match. Dénombrement Une urne contient 5 boules numérotées de 1 à 5, les 3 premières sont vertes, les 2 dernières sont rouges. 1. On

A ) = ----------------------- . p(B) 92 cours savoir-faire exercices corrigés Remarque : comme A B = B A, alors p ( A B ) = p B ( A ) × p ( B ) = p A ( B ) × p ( A ) ( p ( A ) ≠ 0 et p ( B ) ≠ 0 ). p B ( A ) = 1 – p ( A ). 3. Formule des probabilités totales { B 1, B 2, …, B i, …, B n } est une partition de E si :  ∀i ∈ , 1 i n , B i ≠ ∅   ∀i ∈ , ∀j ∈ , i ≠ j , B i B j = ∅   B1 B2 … Bi … Bn = E . Si { B 1, …, B n } est une partition de E et si p ( B i ) est non nul pour

Approximation polynômiale uniforme-Polynômes de Bernstein [pic] On considère les suites suivantes : [pic] Question 1 : Montrons que [pic] [pic] On reconnaît la formule du binôme de Newton, [pic] Dans notre cas, [pic] d’où : [pic] On veut montrer que, [pic] [pic] [pic] On pose[pic]. [pic] On vérifie sur Scilab pour le cas particulier où : x=0,1 et n=3 x=0.1; n=3; z=(factor

TD : Matrices Exercice 1 : Soient A = 1 3 2 4 ,B= 1 4 0 4 et C = −1 −3 2 0 . 1. Calculer A + B , 2A − B , 3(A − 2B) + 2(3B + C), AB , BA, AC , CA, ABC , A(B + 2C), t A, t (3A − B), t (AB), t B t A, A2 , A3 , A4 , (AB)2 et (A + B)2 , (A + B)3 . 2. Résoudre les équations d'inconnues X ∈ M2 (R) : A − 3X = 2B , 2 t X + C = A, AX = XA et X 2 = B . Exercice 2 : Calculer lorsque c'est possible le produit AB et le produit BA pour les matrices A et B suivantes. 1. A =

b1 c1 d1 2 a2 b2 c2 d2 3 a3 b3 c3 d3 4 a4 b4 c4 d4 5 a5 b5 c5 d5 6 a6 b6 c6 d6 3 I.1.g. Propriétés élémentaires du complémentaire et des opérations booléennes 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) (Ac)c = A (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc (∪i≥1 Ai)c = (∩i≥1 Ai)c = A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B ) ∩ (A ∪ C) ∩ i≥1 Aic ∪i≥1 Aic I.2. Notions de combinatoire I.2.a. La règle de multiplication Question: Monsieur Hasard a 6 pantalons, 4 chemises, 2 vestes et 3 paires de chaussures

suivante : « un segment quelconque compris par une droite et une parabole est égal à quatre fois le tiers d’un triangle qui a la même base et la même hauteur que le segment. » Pour ce faire il est amené à travailler avec une suite géométrique de raison 1/4, dont il doit sommer les termes, en évitant toutefois la somme infinie et en se contentant de manipuler la suite des sommes finies. Un autre exemple dû à Archimède est son calcul approché de π par la méthode dite des isopérimètres, consistant à approcher

Le principe de récurrence. 2) Propriétés de . 3) La division euclidienne II : Combinaisons 1) Définition 2) Formules de récurrence 3) Formule du binôme de Newton III : L'anneau 1) Diviseurs communs, PGCD 2) Egalité de Bézout 3) Le théorème de Gauss 4) PPCM 5) Les nombres premiers IV : L'anneau des polynômes [X] 1) Algorithme du calcul du PGCD 2) L'égalité de Bézout 3) Le théorème de Gauss 4) Les polynômes irréductibles 5) PPCM Annexe I : nombre d'injections, de surjections et de partitions Annexe

le système :    ac + be = ac   ad + bf af = bc + da = be + af On résoud ce système pour trouver que e = 0 et c = f . Toutes les matrices B qui conviennent sont celles de la forme : c d . 0 c Exercice 4 - Annulateur - L1/Math Sup On trouve :   1 1 1   AB = AC =  1 1 0  . 4 4 3 http://www.bibmath.net 1 Exercices - Matrices : corrigé La matrice A n’est pas inversible : si tel était le cas, on multiplierait à gauche par A−1 dans l’égalité AB = AC, et on trouverait B = C. Ce n’est

les matrices de la forme x λ1 x y λ2 y , (x, y) ∈ (C∗ )2 . http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget, 2008. Tous droits réservés. b) Soit n ∈ N. On a A = QDQ−1 et donc An = QDn Q−1 . ∀n ∈ N, An = Q × diag(λn , λn ) × Q−1 . 1 2 I.A.4) a) On sait que 2λ = Tr(A) = −a1 et λ2 = det(A) = a0 . Donc a1 = −2λ et a0 = λ2 . b) Posons Q = x z y t , (x, y) ∈ C2 . 0 −a0 1 −a1 x y z t x z y t λ 0 1 λ AQ = QT ⇔  z = λx  z = λx   t = x + λy t = x + λy ⇔ (λ2 + a1 λ + a0 )x = 0  −a0 x −

TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (F ILIÈRE MP), ÉCOLE POLYTECHNIQUE (F ILIÈRE TSI). CONCOURS 2012 DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière MP (Durée de l’épreuve : 4 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : C YCLE I NTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP . Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie