Formule d'Euler

gérant est mal informé}, GBI = {Le gérant est bien informé} et M = {La valeur a monté}. Les informations de l’énoncé se traduisent par les probabilités P(M|GBI) = 0.8, P(M|GMI) = 0.5 et P(GBI) = 0.2. L’objectif est de calculer P(GMI|M). D’après la formule de Bayes, on a : P(GMI|M) = = I. Elhattab (ENCG) P(GMI ∩ M) P(GMI)P(M|GMI) = P(M) P(GMI)P(M|GMI) + P(GBI)P(M|GBI) 0.8 × 0.5 5 = 0.8 × 0.5 + 0.2 × 0.8 7 Calcul des probabilités 2014 - 2015 26 / 26 

2nde Corrigé : Feuille d’exercices n°1 : Probabilités Exercice 6* (diagramme de Venn) Parmi les élèves de Saint-Denis inscrits aux activités de sport proposées : il y en a 47 en foot, 23 en basket et 36 en volley. Au total, il y a 84 élèves inscrits à ces activités dont 12 au foot et au basket, 4 au foot et au volley et en fin 8 au volley et au basket et x en foot, basket et volley. Déterminer x . Donc : x +(12−x )+( 4−x )+(8−x )+[47−(12−x )−(4−x )−x ]+[23−(12−x )−(8−x )−x ]+[36−( 4−x )−( 8−x )−x

Montrons que la suite (un)n∈N∗ définie par un = n n converge vers 1. On remarque d’abord que la suite est minorée par 1. Soit ε > 0 un nombre réel strictement 1 positif. Montrons que n n < 1 + ε pour n assez grand, ce qui équivaut à n < (1 + ε)n. La formule du binôme de Newton montre que (1 + ε)n = 1 + nε + n(n − 1)ε2/2 + · · · + εn. Comme tous les termes du second membre sont positifs, pour avoir n < (1 + ε)n, il suffit que n soit strictement inférieur à n(n − 1)ε2/2. Ceci a lieu si n est strictement

(C'est-à-dire environ 1,765 % de chance.) p Comment calculer avec des coefficients C n ? Rappel : Exemple : n! = 1 × 2 × ... × (n − 1) × n 5 ! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120 Cas spéciaux : 2 ! = 1 × 2 = 2 ; 1 ! = 1 et 0 ! = 1 (convention) Formule générale : n n! = p p! (n − p)! =1 ; Quelques cas particuliers (à connaître) : n = n n- p n n 0 1 =n Propriété de symétrie : p . Exemple : 13 13 = (Le nombre de façons de choisir 9 objets parmi 9 4 13 est égal

Approximation polynômiale uniforme-Polynômes de Bernstein [pic] On considère les suites suivantes : [pic] Question 1 : Montrons que [pic] [pic] On reconnaît la formule du binôme de Newton, [pic] Dans notre cas, [pic] d’où : [pic] On veut montrer que, [pic] [pic] [pic] On pose[pic]. [pic] On vérifie sur Scilab pour le cas particulier où : x=0,1 et n=3 x=0.1; n=3; z=(factor

Théorème : Soit f une fonction développable en série entière sur ] − r, r[. La fonction f est ∞ de classe C sur cet intervalle et les coecients an de son développement sont uniques et déterminés par la formule : ∀n ∈ N, an = f (n) (0) n! 4 8 Développements classiques Formule du binôme généralisée : Pour tout réel α, la fonction x → (+x)α est développable en série entière sur ] − 1, 1[. Son développement est donné par : ∞ ∀x ∈] − 1, 1[, (1 + x) = 1 + n=1

= b, on a xi+1 - xi = (b - a)/n. La somme des aires colorées en jaune pointé représente une approximation J de l'intégrale I. Chaque aire est celle d'un trapèze de hauteur xi+1 - xi, de bases respectives f(xi) et f(xi+1). On obtient ainsi la formule suivante : Démonstration : Considérons alors une subdivision de l'intervalle [a;b] de pas h. Rappelons qu'une subdivision de pas h est définie par l'entier n tel que: h = et par la suite des réels " a , a + h , a + 2h , ..., a + k.h

(Répétition) Remise Avec Ordre (Arrangement) Boules Distinctes Sans Ordre (Combinaison) Boules Identiques Sans Exclusions Avec Exclusions Propriétés: Formule du Binôme de Newton II Axiomatique des probabilités totales L'axiomatique de Kolmogorov définit la probabilité comme une fonction associant, a chacun des événements résultant d'une expérience aléatoire, un nombre qui mesure le degrés de

condition que ce lien soit accessible librement et gratuitement. Vous ne pouvez pas télécharger les fichiers de mon site pour les installer sur le vôtre. DEVELOPPEMENTS LIMITES PLAN I : Généralités 1) Définition 2) Formule de Taylor avec reste intégral 3) Inégalité de Taylor–Lagrange 4) Formule de Taylor–Young 5) Méthode de Newton-Raphson II : Opérations sur les développements limités 1) Somme 2) Produit 3) Composition 4) Quotient 5) Intégration et dérivation III : Utilisation des développements limités

tenant compte de l'ordre mais sans répétitions. 9 9 Combinaisons : Une combinaison de p éléments de E est une partie de E qui contient p éléments. On choisit p éléments parmi n mais sans tenir compte de l'ordre et sans répétitions. C np = Formules : Anp n! = p! ( n − p )! p! n C n − p = C np et C np = C np−−11 + C np−1 (Triangle de Pascal ) ( a + b) n = ∑C p =0 n Dénombrements : quelles méthodes ? Typesde tirages Successifs Avec remise Successifs Avec remise Simultanés