Fraction irréductible

: L'anneau 1) Diviseurs communs, PGCD 2) Egalité de Bézout 3) Le théorème de Gauss 4) PPCM 5) Les nombres premiers IV : L'anneau des polynômes [X] 1) Algorithme du calcul du PGCD 2) L'égalité de Bézout 3) Le théorème de Gauss 4) Les polynômes irréductibles 5) PPCM Annexe I : nombre d'injections, de surjections et de partitions Annexe II : les axiomes de Peano Annexe III : analyse non standard Annexe IV : Le numéro INSEE Annexe V: Utilisation d'un corps fini dans le codage du Minitel Annexe VI : Utilisation

rationnel positif dont le carré est 2, la racine carrée de 2 est irrationnelle. * Supposons qu'il existe un élément x = p/q de + ( ensemble des rationnels positifs ) tel que x² = 2, avec p et q premiers entre eux ( c'est à dire que p/q est une fraction irréductible ) . on a : (p/q)² = 2 donc p² = 2 q² * Comme p² = 2q² on peut dire que p² est un multiple de 2 ou encore 2 divise p² par conséquent 2 divise p aussi. * Comme 2 divise p , il existe donc un entier naturel p' tel que p = 2p' mais alors

n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité) On considère la suite numérique (un )) définie sur N par : 3 1 u0 = 2 et pour tout entier naturel n, un+1 = − u2n + 3un − . 2 2 Partie A : Conjecture 1) Calculer les valeurs exactes, données en fractions irréductibles, de u1 et u2 . 2) Donner une valeur approchée à 10−5 près des termes u3 et u4 . 3) Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite (un ). Partie B : Validation des conjectures On considère la suite numérique (vn ) définie pour

3(5k + 2) + 1 = 15k + 7 (k  ). 88 Corrigé sur le site élève. THÉORÈME DE GAUSS FRACTIONS IRRÉDUCTIBLES 78  a) 7 divise (x – 2) ; donc x = 7k + 2 et y = 5k. b) 57x = 10y ; donc 10 divise x soit x = 10k et y = 57k. 79  1. Par hypothèse, au + bv = 1 ; donc : 89  a = Da’ ; b = Db’ ; PGCD (a’ ; b’) = 1. a a Δa’ a’ ; donc est égale à la fraction = = b b Δb’ b’ a’ . irréductible b’ Donc (au + bv)3 = 1 ⇔ a(u 3a 2 + 3abuv + 3ub3v 2) + b 3v 3 = 1 ; a et b 3 sont

d’une calculatrice est autorisée. A CTIVITÉS NUMÉRIQUES E XERCICE 1 1. On considère les deux expressions : A= 3 1 5 − × 5 2 2 et B= 16 × 10−1 × 2 103 2 12 points × 10−8 × 80 a. Calculer A et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible. b. Vérifier que B est un nombre entier. Écrire les étapes du calcul. c. Brice affirme que « A est l’opposé de B ». Est-ce vrai ? Justifier. 2. On considère les deux expressions : C = 2 24 + 96 − 600 et D= 3− 2 3+5 2 3. Mettre C sous la forme

I : ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (19 points) Les cinq exercices suivants sont indépendants. Exercice 1 : On donne : A= 73-23÷87 B=12-73 C=0,3×102×5×10-34×10-4 D=6-52 1. Calculer A et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible. 2. Ecrire B sous la forme ab où a est un entier relatif et b un entier naturel le plus petit possible. 3. Calculer C et donner son écriture scientifique. 4. Développer et réduire D. Exercice 2

affichée est la dernière valeur affectée à la variable p, c’est à dire 1333. Exercice 3 (Équations du 1er degré) Résoudre les équations suivantes. Les calculs seront détaillés mais sans excès. Les solutions exactes sont attendues, sous forme de fractions irréductibles si nécessaire. 2x− 7 = 11 2x− 7 = 11 2x = 18 x = 18 2 = 9 a) 5x + 4 = 7x− 6 5x + 4 = 7x− 6 −2x = −10 x = −10 −2 = 5 b)−4x + 2 = 7x− 20 −4x + 2 = 7x− 20 −11x = −22 x = −22 −11 = 2 c) 2 3 x− 2 = 5 2 3x− 2 = 5 2 3x = 7 x = 7× 3 2 = 21 2 d) e)

forme b 3 où b est un nombre entier. b) Ecrire C sous la forme e + f 3 avec e et f entiers. c) Montrer que D est un nombre entier. Exercice 2 En précisant les différentes étapes de calcul : Ecrire le nombre A ci-dessous sous forme d'une fraction irréductible : Exercice 3 On donne : D = (2x - 3)(5 - x) + (2x - 3)2 1) Développer et réduire D. 2) Factoriser D. 3) Résoudre l'équation : (2x - 3)(x + 2) = 0 Exercice 4 Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque ligne

où : (a) les quatre pièces sont bonnes ? (b) au moins une pièce est mauvaise ? (c) une pièce et une seule est mauvaise ? (d) deux pièces au moins sont mauvaises ? Exercice 2.3 Dans cet exercice, les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles. Un sac contient neuf boules indiscernables au toucher, ce qui rend les tirages équiprobables. Quatre boules sont blanches et numérotées de 1 à 4. Cinq boules sont noires et numérotées de 1 à 5. On tire simultanément trois boules du sac. Calculer

B(-1;5) C(1;-18) 4) L'antécédent de 4 par la fonction f est -5 5) La droite qui représente la fonction f coupe l'axe des ordonnées en D(1,5;0) E(0;3) F(0;2) • Exercice 3 : On donne : 1) Écrire A sous la forme d'une fraction irréductible. 2) Donner l'écrire scientifique de B. 3) Montrer que C est un nombre entier. Activités géométriques : 12 points • Exercice 1 : 1) Construire un triangle ABC tel que : AB = 7,5 cm, BC = 10 cm et AC = 12,5 cm. 2) Prouver que