Germanie inférieure

Math 1 Notations | Tel que ⊂ Inclus dans → De … vers : Tel que , Et 2 Nombres, relations et applications 2.1 Nombres IN : Naturels IN0 Z : Entier Z0 Z+=IN  : rationnels IR : réel 2.2 Relation d’ordre : la relation dans IR Rappel : Une relation § (« Brol », n’importe quoi) dans IR est une partie de IRxIR La relation § est un préordre sur IR ssi elle est Réflexive : Transitive : si La relation § est un ordre sur IR ssi elle est Réflexive Transitive Antisymétrique :

SUITES PLAN I : Corps des réels 1) Propriétés 2) Borne supérieure et inférieure a) Définition b) Droite achevée c) Partie entière 3) Intervalles 4) Suites II : Limite d'une suite 1) Préambule 2) Un exemple historique 3) Définitions 4) Opérations sur les limites 5) Inégalités et limites 6) Suites monotones 7) Suites adjacentes 8) Théorème de Bolzano–Weierstrass III : Suites particulières 1) Suites arithmétiques 2) Suites géométriques 3) Suites arithmético–géométriques 4) Suites récurrentes linéaires

Planche no 19. Applications linéaires continues, normes matricielles * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile I : Incontournable ***** très difficile no 1 (*) : On munit E = R[X] de la norme 1) Vérifier brièvement que ∞ est une norme sur E. 2) Soit f l’endomorphisme de E défini par ∀P ∈ E, f(P) = XP. Démontrer que l’application f est continue sur (E, déterminer |||f|||. no 2 (**) : On munit E = ℓ∞ (C) le C-espace vectoriel des suites bornées de la norme u ∞ ∞ ∞ définie par

Exo7 Limites de fonctions 1 Théorie Exercice 1 1. Montrer que toute fonction périodique et non constante n’admet pas de limite en +∞. 2. Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une limite finie en +∞. Indication Exercice 2 √ √ 1+x− 1−x = 1. 1. Démontrer que lim x x→0 Correction Vidéo [000612] √ √ 1 + xm − 1 − xm . xn x→0 1 1 3. Démontrer que lim ( 1 + x + x2 − 1) = . 2 x→0 x Indication Correction Vidéo 2. Soient m, n des entiers positifs. Étudier lim [000609]

tel que n O 3 z0 E AB tel que ap - E < zo 5 ap. En résumé sup (AB) = sup A . sup B. De même, on démontre que : inf (AB) = inf A . inf B. calcul dans R - 13 Pour chacun des ensembles suivants donner, si elles existent, la borne inférieure et la borne supérieure et dire si elles font partie de l'ensemble considéré : 1") A = ( X E Q 1x217) 2) B = { x E Q /x358) " 3") C = ( X E IR /x215) Solution 1") Soit A = (x E Q / x2 < 7). D'abord : VXEA x217 O et xO z O . Ainsi, on a construit

Sélectionner .F2 : Ncd et EXE . Ex : Data : Variable, Lower : –1E99, Uper : 28, σ : 5, µ : 20 puis EXE N.B. : –1E99 et 1E99 représentent respectivement moins et plus l'infini. Si vous souhaitez afficher, par exemple, la zone située à droite de la borne inférieure (inf), spécifiez sup=1E99 pour la borne supérieure. Ex : Data : Variable, Lower : 12, Uper : 1E99, σ : 5, µ : 20 puis EXE Probabilité de l'événement a X b  Dans le menu STAT, .F5 : DIST puis .F1 : NORM Sélectionner .F2 : Ncd et EXE . Ex : Data

´ ´ EQUATIONS DIFFERENTIELLES OLIVIER DEBARRE ` Table des matieres 1. Le th´or`me de Cauchy–Lipschitz e e 2. D´montrer le th´or`me de Cauchy–Lipschitz e e e 3. Appliquer le th´or`me de Cauchy–Lipschitz e e ´ 4. Equations diff´rentielles autonomes e 5. Stabilit´ des solutions e R´f´rences ee 1 3 8 11 14 17 ´ ` 1. Le theoreme de Cauchy–Lipschitz Une ´quation diff´rentielle (du premier ordre) s’´crit e e e (1) o` u f : I × Ω → Rn est une fonction continue, avec Ω ouvert (non vide) de Rn et I intervalle

raisons d’ordre historique. Il permet l’obtention de chemins de longueur minimale ou maximale, quels que soient les signes des longueurs lij . Son principe : On marque tout sommet x j d’une marque  j qui correspond à une borne supérieure (inférieure) pour la distance minimale (maximale) de x1 à x j . On diminue (augmente) progressivement ces marques, à raison d’une par étape, et en suivant la procédure décrite dans l’organigramme ci-dessous. Lorsqu’une telle diminution (augmentation) n’est

relatifs par symétrisation puis le corps Q des nombres rationnels est construit comme le corps des fractions de Z. Le corps Q étant totalement ordonné, on peut définir sur cet ensemble les notions de valeur absolue, de minorant, de majorant, de borne inférieure et de borne supérieure. On note Q+ [resp. Q+,∗ ] le sous-ensemble de Q formé des nombres rationnels positifs ou nuls [resp. strictement positif]. Dire que M ∈ Q est la borne supérieure d’une partie non vide X de Q signifie que M est le plus petit

respectives x = 0 et x = 1. (Voir figure 1) y 1 Pour calculer l'aire du domaine D, on l'encadre avec des rectangles. Un première série de rectangles (en grisés sur la figure 2), situés sous la courbe, de sorte que la somme de leurs aires soit inférieure à A. D'autres, plus grands (en blanc sur la figure 2) de sorte que la somme de leurs aires soit supérieure à A. D y 1 O Cƒ O 1 5 2 5 3 5 4 5 1 Largeur des rectangles : 1 5 TS DM1 : quadrature de la parabole