Germanie inférieure

+p( rie (u) ait d v)< ne f d( ax Rel Propriétés Dans toutes les propriétés le graphe G=(V,E) est un GO et p une fonction poids Lemme1 : Inégalité triangulaire ∀ u,v ∈E δ  s,v ≤δ  s,u+p  u,v  Lemme2 : Propriété de la borne inférieure ∀ v∈V d v≥δ s,v  . Cette propriété est invariante par rapport au nombre de relaxation réalisé sur les Arcs de G Si d v=δ s,v  Elle reste inchangée indépendamment du nombre de relaxations . Preuve : induction Preuve

R et si f est définie et continue par morceaux sur [a, b], alors F est continue sur [a, b] de sorte que f admet une intégrale impropre qui coïncide avec l’intégrale de f sur [a, b]. • On définit de même la notion d’intégrale impropre sur la borne inférieure de l’intervalle. Soient a ∈ R et b ∈ R. Soit f :]a, b] → R une fonction continue par morceaux. On pose x F (x) = a f (t) dt pour tout x ∈]a, b]. On dit que f admet une intégrale impropre si b F (x) admet une limite quand x → a par valeurs

relatifs par symétrisation puis le corps Q des nombres rationnels est construit comme le corps des fractions de Z. Le corps Q étant totalement ordonné, on peut définir sur cet ensemble les notions de valeur absolue, de minorant, de majorant, de borne inférieure et de borne supérieure. On note Q+ [resp. Q+,∗ ] le sous-ensemble de Q formé des nombres rationnels positifs ou nuls [resp. strictement positif]. Dire que M ∈ Q est la borne supérieure d’une partie non vide X de Q signifie que M est le plus petit

l'intervalle de confiance par 3 ? Estimation de moyennes et taille d’échantillon 7) La taille moyenne observée sur un échantillon aléatoire de 101 personnes prélevé avec remise parmi 50000 est de 1,72 m avec un écart-type s’ de 23 cm. Donnez la borne inférieure d'un intervalle de confiance à 98 % pour la taille moyenne sur l'ensemble de la population. ................... Réponse : 166,56 cm 8) Quelle taille d'échantillon doit on prélever sans remise pour connaître le salaire moyen des habitants de Cergy

Borne supérieure, inférieure • Définitions La borne supérieure de A est le plus petit élément (s'il existe) de l'ensemble des majorants de A. La borne inférieure de A est le plus grand élément (s'il existe) de l'ensemble des minorants de A. • Caractérisation M est la borne supérieure de A si, et seulement si, on a, à la fois : ∀x ∈ A x M , c'est-à-dire que M est un majorant ; ∀ε > 0 ∃ x ∈ A M − ε < x, c'est-à-dire que M − ε n'est pas un majorant. m est la borne inférieure de A si, et seulement

équivalente si |f | est majorée : ∃M ∈ R, ∀x ∈ D, |f (x)| ≤ M. Bornes Soit f dans RD • La borne supérieure de f , si elle existe, est la borne supérieure de f (D) : sup f = sup{f (x), x ∈ D} = sup f (x). x∈D • La borne inférieure de f , si elle existe, est la borne inférieure de f (D) : inf f = inf{f (x), x ∈ D} = inf f (x). x∈D • Le maximum de f , si il existe, est le maximum de f (D) : max f = max{f (x), x ∈ D} = max f (x). x∈D • Le minimum de f , si il existe, est le minimum de f (D)

Les suites Les valeurs prises par une suite sont appelées termes de la suite. Si on nomme u une suite, alors on note son premier terme, son deuxième terme, son troisième, etc. Il y a deux façons de définir une suite: - On peut donner la formule du terme général en fonction de n (pour la première suite tout en haut, on aurait ). - On peut donner son premier terme et une relation générale qui relie deux termes consécutifs. On dit alors que la suite est définie par récurrence. Pour le deuxième

= 0 si ℓ = +∞, R = +∞ si ℓ = 0). Démonstration — Utilisons la règle de d’Alembert pour la série numérique an z n : an+1 an+1 z n+1 = |z| an z n an 1 ; ℓ 1 . ℓ qui tend vers ℓ|z| quand n tend vers +∞. 1 Si |z| < , cette limite est strictement inférieure à 1 : la série ℓ 1 si |z| > , cette limite est strictement supérieure à 1 : la série ℓ 1 En définitive, R = . ℓ an z n converge ; donc R an z n diverge ; donc R Exemple 1.4 – n! n n! an+1 1. z . an = n = 0, et lim = e−1 , d’où R = e. n n→+∞

Proposition 2. Soit f ∈ F (I, R) 1. On suppose que a est un élément de I distincts des bornes de I . Alors : { lim f (x) = l x→a− lim f (x) = l ⇔ lim+ f (x) = l x→a x→a 2. On suppose que a est la borne supérieure de I (respectivement la borne inférieure) et a ∈ I . Alors : ( ) lim f (x) = l ⇔ lim f (x) = l respectivement, lim+ f (x) = l − x→a x→a x→a Exemple 6. On considère la fonction : δ : { x→ R→R 1 si x = 0 |x| si x ̸= 0 x δ admet-elle une limite en 0 ? 5 Théorème de la limite

Méthode employée : Question 1 : Déterminer une méthode de prélèvement aléatoire d’arbres dans la simulation et prélever un échantillon de chaque forêt. Déterminer un intervalle de confiance pour chaque échantillon et vérifier si la borne inférieure est supérieure à 50 cm. Si elle l’est, la forêt sera considérée comme exploitable. Question 2 et questions complémentaires : A partir des résultats précédents, déterminer l’ordre de priorité d’exploitation des forêts dont le diamètre moyen