Germanie inférieure

MP* 2014/2015 RÉSUMÉ DU COURS ESPACES NORMÉS : SUITES ET TOPOLOGIE I Suites réelles et complexes A Borne supérieure Définition Si A ⊂ R est une partie non vide et majorée, l’ensemble de ses majorants possède un plus petit élément, qu’on appelle borne supérieure de A et notée sup( A). Cette borne supérieure M = sup( A) n’est pas en général un élément de A et est caractérisée par les deux propriétés ∀x∈A x M ∀ε>0 ∃x∈A B M−ε < x M Convergence d’une suite réelle

algorithme pour le balayage Méthode : Avec les notations ci-dessus l’algorithme suivant calcule le plus petit rang n pour lequel b n − a n est inférieur à une valeur donnée, et affiche a n , b n et n. Initialisation Affecter la valeur de la borne inférieure de l’intervalle à la variable a. Affecter la valeur de la borne supérieure de l’intervalle à la variable b. Affecter l’incertitude désirée à la variable e. Début Affecter 0 à la variable n. Affecter la longueur de l’intervalle [a

Borne supérieure, inférieure Définitions La borne supérieure de A est le plus petit élément (s'il existe) de l'ensemble des majorants de A. La borne inférieure de A est le plus grand élément (s'il existe) de l'ensemble des minorants de A. Caractérisation M est la borne supérieure de A si, et seulement si, on a, à la fois : ∀x ∈ A x M , c'est-à-dire que M est un majorant ; ∀ε > 0 ∃ x ∈ A M − ε < x, c'est-à-dire que M − ε n'est pas un majorant. m est la borne inférieure de A si, et seulement

Borne supérieure, inférieure • Définitions La borne supérieure de A est le plus petit élément (s'il existe) de l'ensemble des majorants de A. La borne inférieure de A est le plus grand élément (s'il existe) de l'ensemble des minorants de A. • Caractérisation M est la borne supérieure de A si, et seulement si, on a, à la fois : ∀x ∈ A x M , c'est-à-dire que M est un majorant ; ∀ε > 0 ∃ x ∈ A M − ε < x, c'est-à-dire que M − ε n'est pas un majorant. m est la borne inférieure de A si, et seulement

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2.1 Séries entières Définition 2.1.1 On appelle série entière toute série de fonctions fn dont le terme n général est de la forme fn (x) = an x , où (an )n désigne une suite réelle ou complexe et x ∈ R. Une série entière est notée semble : an xn . Comme pour les séries de fonctions, on cherche l’en    ∆ = x ∈ R :   ∞ n=0 qu’on appelle domaine de convergence de la série entière. Exemple 2.1.1 Exemple 1 :     n an x converge   xn . n! n=0 xn Posons

étant fixé non nul. ◦ Si le théorème de d’Alembert est applicable directement, R est le |z| tel qu’on soit dans le cas douteux, c’est à dire tel que la limite est 1. ◦ Si la limite est toujours nulle, R = +∞. ◦ Si pour un |z| donné, la limite est inférieure ou égale à 1, R |z| ◦ Si pour un |z| donné, la limite est supérieure ou égale à 1, R |z| • Dans le cas où le théorème de d’Alembert ne fournit pas le résultat, on obtient des inégalités en utilisant le paragraphe précédent. Si on a un z0 tel que

intervalle [0, θ] satisfaisant une inégalité de la forme t ϕ(t) où η est réel et ζ 0 ; alors η+ζ 0 ϕ(s)ds ϕ(t) ηeζt . 10. Dans cette question, on suppose que l’ensemble des t pour lesquels |x(t)| > 1 est non vide et on note θ sa borne inférieure. Montrer que, pour tout t ∈ [0, θ], on a |x(t)| |x(0)|e(k+ελ)t . 3 11. Conclure. N.B. Ce résultat exprime ce que l’on appelle la « stabilité » et la « stabilité asymptotique » de la solution nulle de l’équation différentielle (E6). ∗ ∗

-15). Borne inférieure, borne supérieure : Définition: On dit que b est la borne supérieure de A ⇐⇒ b est le plus petit des majorants de A On dit que b est la borne inférieure de A ⇐⇒ b est le plus grand des minorants de A. Exemple : 6 est la borne inférieure de ]6 + ∞[. 5 Caractéristiques des bornes : b est la borne supérieure de A ⇔ . 1) b est un majorant de A (∀a ∈ A , a ≤ b) ½ 2).∀ > 0, ∃a ∈ A : b − ε < a ≤ b 1) b est un minorant de A (∀a ∈ A, a ≥ b) b est la borne inférieure de A ⇐⇒ . 2)

MathCONSTRUCTION DU CORPS DES REELS Said EL HAJJI : elhajji.said@gmail.com Laboratoire Math´ matiques, Informatique et Applications e http://www.fsr.ac.ma/mia/ Outline Contents 1 2 3 Notion de fonction et notations Propri´ t´ s de base ee Majorant, minorant d’une partie de R 3.1 Borne inf´ rieure, borne sup´ rieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 1 2 4 4 1 Notion de fonction et notations Introduction D´ finition e ´e ´e Soit E un ensemble, on dit

d’ une partie A R, si (i) 8x 2 A : x a ; (ii) 8a0 < a 9x 2 A : x > a0 La condition (ii) est équivalente à : 8" > 0 9x 2 A : x > a " ; i.e. a est le plus petit des majorants de A, qu’ note sup A = a. on Dé…nition 1.1.2 On dit que b est une borne inférieure d’ une partie A R, si (i) 8x 2 A : x a ; (ii) 8b0 > b 9x 2 A : x < b0 La condition (ii) est équivalente à : 8" > 0 9x 2 A : x < b + " ; i.e. a est le plus grand des minorant de A, qu’ note inf A = b. on Propriété 1.1.1 Toute partie non vide et majorée