Graphe eulérien

méthode de Gauss-Seidel. Écrire un algorithme (Matlab) permettant de résoudre ce système et déterminer le nombre d’itérations nécessaires pour obtenir une erreur . Comparer les résultats avec la méthode de Jacobi et conclure. Représenter sur le même graphe l’évolution des solutions Changer les valeurs initiales Solution : * Méthode itérative générale : Appelons l’algorithme permettant de calculer la solution On se donne des valeurs arbitraires A*x=y ; où , et : par exemple ‘G-seid.m’ =0. Le système

(différentes bases), l’arithmétique (divers algorithmes de multiplication, y compris les méthodes digitales), l’algèbre (calcul chinois des polynômes, résolution des équations sur la planche dite « carré des quatre directions » (siu yuan), les graphes (cycles eulériens tracés sur le sable, donc effaçables). La géométrie n’échappe pas à cette observation. Les charpentiers et les maîtres-maçons ont connu les méthodes de « rabattement » bien avant l’invention de la géométrie descriptive par Gaspard Monge

. . . . 12.6.7 Hachures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.7 Figures usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.7.1 Rectangles, polygones, etc. . . . . . . . . 12.7.1.1 Rectangles et polygones . . . . . 12.7.1.2 Un triangle. . . eulérien . . . . . 12.7.1.3 Pour un Sudoku . . . . . . . . . 12.7.2 Parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.7.3 Courbe d’interpolation . . . . . . . . . . . 12.7.4 Cercles, disques et ellipses . . . . . . . . . 12.7.5 Secteurs et arcs . .

espace métrique compact X dans qui converge simplement vers une fonction continue f . Montrer que la convergence est uniforme. indication. Considérer les ensembles Xn = {x X : f (x) − fn (x) < }. 5. convergence des suites et séries Développement eulérien de la fonction sinus 27 Soit Pn (x) = (1 + ix/n)n − (1 − ix/n)n ; on sait que sin x = lim Pn (x)/2i. Déterminer quels sont les racines de P2n (x)/x afin d’en déduire l’égalité sin x/x = kπ lim n−1 (1 − x 2 /(4n2 tan2 2n )). k=1 Montrer que

croissante de fonctions continues d’un espace métrique compact X dans qui converge simplement vers une fonction continue f . Montrer que la convergence est uniforme. Indication. Considérer les ensembles Xn = {x ∈ X : f (x) − fn (x) < }. Développement eulérien de la fonction sinus Soit Pn (x) = (1 + i x/n)n − (1 − i x/n)n ; on sait que sin x = lim Pn (x) /2i. Déterminer quels sont les racines de P2n (x) /x afin d’en déduire l’égalité sin x/x = lim n−1 1 − x 2 / 4n 2 tan2 kπ . 2n k=1 Montrer que la convergence

4 x Figure 5.12 : profils de hauteur calculés numériquement (courbe continue) pour θ = 6˚ . Calculs effectués aux temps t = 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, et 256. Dans le graphe (a), l’approximation analytique (5.29) obtenue en composant les solutions interne et externe a été reportée (courbe à tirets). Dans le graphe (b), la solution analytique (5.36) correspondant à de la pure convection est reportée. Calculs réalisés pour κ = 0,186. 1.0 0.8 h hmax 0.6 0.4 0.2 t t t t

exploitables (possibilité de dénombrement) : il peut donc servir de document de substitution si les résultats obtenus par les élèves ne s’avèrent pas satisfaisants. Deux possibilités d’exploitation et de présentation des résultats sont suggérées (tableau et graphe). L’étude comparée des séquences génétiques des deux souches de levures est présentée dans l’activité pratique 3 (document 2 page 37). Elle pourra donc être réalisée pour compléter cette approche expérimentale. 2. Les pistes d’exploitation Informations

fonction est donc continue et linéaire par morceaux. Ici encore, il est nécessaire de choisir des limites pour les classes extrêmes. t F(t) (%) <1 [1 ; 2[ [2 ; 3[ [3 ; 4[ [4 ; 5[ ≥5 0 29,2 61,0 77,8 92,0 100 100 % 1 2 3 4 5 et + Figure 1.4 – Graphe des fréquences cumulées de la distribution représentée à la figure 1.2 Ces fréquences cumulées sont des fréquences cumulées ascendantes, car elles ont été obtenues en calculant les fréquences Fi d’individus pour lesquelles le caractère étudié X est

gamma. Une variable aléatoire réelle positive X suit une loi gamma g(t ; l) ou G(t ; l), de paramètres positifs t et l, si sa densité de probabilité est donnée par : f (x) 5 l e−l x (l x) G (t) t −1 f (x) 5 0 si x 0 sinon G est la fonction eulérienne définie par l’intégrale pour t > 0 (voir annexe 2) : ∞ G (t) 5 e− y y t − 1 d y 0 B CALCUL DES PROBABILITÉS c Dunod – La photocopie non autorisée est un délit Le paramètre t est un paramètre de forme tandis que 1/l est un paramètre d’échelle

8,0 8,0 8,0 8,0 8,0 8,0 19,0 8,0 8,0 IV X 10,0 8,0 13,0 9,0 11,0 14,0 6,0 4,0 12,0 7,0 5,0 Y 6,58 5,76 7,71 8,84 8,47 7,04 5,25 12,50 5,56 7,91 6,89 10 20 10 20 10 20 10 20 Figure 3.7 – Extrait de F. J. Anscombe : Graphs in Statistical Analysis , adapté avec la permission de The American Statistician, 27 (February 1973), 17-21, American Statistician Association L’ajustement linéaire de la série de la composition minérale en fluorures et sodium (mg/l) de 21 eaux