Groupe de permutations

réseau de N entités susceptibles de communiquer secrètement il faut distribuer N*(N-1)/2 clés. Gérard FLORIN CNAM-Cedric 7 Les méthodes de chiffrement par substitution Principe général A chaque lettre ou groupe de lettres on substitue une autre lettre ou un autre groupe de lettres. La substitution simple (substitution mono alphabétique) Pour chaque lettre de l'alphabet de base on se donne une autre lettre utilisée dans le texte chiffré. A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U VW X

min´ralogiques aux U.S.A. sont form´es de 3 lettres, e e suivies de 3 chiffres. – Quel est le nombre de plaques min´ralogiques possibles ? e – Quel est le nombre de plaques qui commencent par la lettre U ? Analyse combinatoire 4 2. Permutations D´finition : une permutation de n ´l´ments distincts e1, . . . , en est un e ee r´arrangement ordonn´, sans r´p´tition de ces n ´l´ments. e e e e ee Exemple : ”a”, ”b” et ”c” sont trois ´l´ments. Les arrangements possibles ee sont abc, acb, bac, bca, cab, cba

9 éléments. Total 910 = 3 486 784 401 Ex 4 : Un groupe d'élèves de BTS doit aller chercher des livres au CDI. De combien de manières peut-on former ce groupe ? ( il y a 24 élèves dans la classe ) Pour chaque élève, on décide de mettre ou non dans le groupe. A chacun des deux choix possibles d'un élève correspond les 2 choix possibles des autres élèves d'où un total de 2 24 choix mais il doit y avoir au moins un élève de choisi. Le nombre de groupes possibles est donc de 2 24 − 1 = 16 777 215 Ex

Probabilités, ou théorie des probabilités, branche des mathématiques, qui s'attache à mesurer ou à déterminer quantitativement la probabilité qu'a un événement ou une expérience d'aboutir à un résultat donné. Cette théorie est fondée sur l'étude des permutations et des combinaisons. Elle constitue la base de tous les travaux en statistiques. La probabilité est une mesure qui quantifie l'incertitude associée à un événement. Elle varie de 0 (l'événement ne se produira jamais) à 1 (l'événement se produira

................. Variantes ................................................................................................................................................................................................................... Les permutations ....................................................................................................................................................................................................... 14 17 22 22 Le voyage de Neptune ★★ ....

operations et de la production ou dans celui des assurances. A la fin de ce module, vous pourrez : 1. differencier les differents types de dispositions ou de possibilites d'un evenement; 2. distinguer les arrangements des combinaisons et des permutations; 3. resoudre des problemes de denombrement; 4. faire Ie lien entre evenements et probabilite; 5. distinguer les approches de la probabilite; 6. comprendre et appliquer les lois de la probabilite; 7. comprendre et interpreter une distribution

Applications linéaires Définition √ Soit K un sous-corps de C (Par exemple Q, R, mais aussi Q( 2)). On appelle espace vectoriel sur K un ensemble E muni d’une loi interne notée + et d’une loi externe notée . avec les propriétés suivantes : 1. (E, +) est un groupe abélien 2. La loi externe . vérifie (a) ∀λ ∈ K ∀x ∈ E ∀y ∈ E (b) ∀λ ∈ K ∀µ ∈ K ∀x ∈ E (c) ∀λ ∈ K ∀µ ∈ K ∀x ∈ E (d) ∀x ∈ E 1.x = x λ.(x + y) = λ.x + λ.y (λ + µ).x = λ.x + µ.x (λµ).x = λ(µ.x) On a les propriétés suivantes : α.0 = 0, 0.x = 0, α.(−x)

de l’ensemble E l’ensemble des fonctions de X dans Y la partie entière du réel x la valuation p-adique de n le coefficient binomial « k parmis n » le symbole de Kronecker le ne groupe symétrique le ne groupe alterné les polynômes de degré ≤ n à coefficients dans l’algèbre des matrices carrés de taille n à coefficients dans le groupe linéaire de degré n sur la transposée de la matrice M le segment [0; 1] (à homéomorphisme près) k k P(E) (X, Y) x vp (n) Ck n j δi Sn An n [X] n( ) n( ) t M la boule

longueur n sur un alphabet à deux éléments, ou encore le nombre de n-uplets de {0; 1}. Or on sait que le nombre de n-uplets d’éléments d’un ensemble à 2 éléments est 2n. 2Combinatoire et dénombrement - Spécialité Mathématiques 2 - Arrangements et permutations d’un ensemble fini Définition : Soit n ∈ N∗. On appelle factorielle de n le nombre n! = 1× 2× · · · × n. Par convention, 0! = 1. Définition : Soit p ∈ N∗, soit A un ensemble fini non vide de cardinal Card(A) = n, n ≥ p. On appelle arrangement de

................. 5.1.1. Coût de l’algorithme .......................................................... 5.1.2. Une analyse plus poussée.. ................................................. 5.2. Des permutations....................................................................... 5.2.1. Permutations par échanges de voisins ................................... 5.2.2. Le programme .................................................................. 5.2.3. Relation avec les tours d’Hanoi ............