Harmonique

Physique Examen 1 Chapitre 1 : Les oscillations 1.2 Mouvement harmonique simple  Mouvement effectué par une particule de masse m soumise à une force proportionnelle à sa position, mais de signe opposé. Fréquence (f): nombre d’oscillations par seconde (Hz) Période (T): temps requis pour effectuer une oscillation complète (s) Amplitude (xm) : Constante positive représentant le déplacement maximal du mouvement oscillatoire (m) Angle de phase (φ) : Angle initial du mouvement (rad) Vitesse angulaire

I. Phénomènes périodiques en mécanique A. OSCILLATION D’UN OBJET 1. L’oscillateur harmonique 1. Phénomènes périodiques Des observations de la vie courante nous font connaître des phénomènes qui se renouvellent régulièrement : battements cardiaques, marées, succession des jours et des nuits, lampe clignotante, mouvement du balancier d’une horloge… Il s’agit de phénomènes périodiques se reproduisant, identiques à eux-mêmes, au bout d’intervalles de temps égaux. Parmi eux, l’étude

qui se produit en sous le seul effet de la gravité est appelée chute libre. A la surface de la Terre, a = g En l’absence de résistance de l’air, tous les corps tombent avec la même accélération. V – Oscillateurs harmoniques simples V.1 Définition On appelle oscillateur harmonique ou sinusoïdal ou monochromatique, tout système stable qui, écarté légèrement de sa position d’équilibre, a son paramètre x(t) qui varie sous la forme : x(t) = A cos (ωt+φ) - A est l’amplitude du mouvement. A a

− qn+1   a si q 1 = 1−q   a(n + 1) si q = 1. On remarque ainsi que lim Sn existe si et seulement si |q| < 1. Dans ce cas la série géométrique n→+∞ +∞ a.qn = a converge et on a n=0 a 1 = . 1−q 1−q 1 2) Série harmonique. C’est la série dont le terme général est de la forme un = où n ∈ N∗ . n Montrons que cette série n’est pas convergente. Pour cela montrons qu’elle n’est pas de Cauchy. 1 1 1 En effet, posons Sn = + + · · · + · 1 2 n 1 1 1 1 1 1 1 1

système mécanique, la mise en équation du système couplé passe par la méthode à suivre suivante : 1 – On écrit les 2 équations différentielles en fonction des coordonnées généralisées. 2 – On fait l’hypothèse que le système admet des solutions harmoniques. Ce qui signifie que le système peut osciller avec la même pulsation pour tous les oscillateurs. 3 – La résolution des systèmes d’équations permet d’obtenir 2 pulsations particulières ?1 et ?2 ; ce sont les pulsations propres. 4 - On substitue ensuite

interprétation de la Gavotte, il joue rubato et les croches ne sont pas modérées tandis que dans le second extrait le piano joue en basse continue. Les deux extraits contiennent des arpèges et ont des entrées en imitation, on entend aussi une marche harmonique jouée par le piano dans le premier extrait tandis que dans le second elle est jouée par les instruments à corde. Les deux extraits sont legato mais dans la Gavotte, à cause des ornementations la musique devient plus stacato. L’ambitus de la Gavotte

hors programme. Il montre en particulier que la réciproque du théorème précédent est fausse. Exemple Série harmonique 1 La série est divergente. n 84 Généralités Première démonstration On raisonne par l’absurde. Notons pour tout entier naturel n non nul, Sn = n ∈ N∗ , on a n k=1 1 · Pour tout k 1 S2n − Sn = k k=n+1 2n 1 1 = · 2n 2 k=n+1 2n Si la série harmonique converge, de somme S, on aurait, par passage à la limite dans les inégalités, 1 lim S2n − Sn = S − S = 0

oo - ω2 ε2 = cste ⇔ ε - ω2 ε = 0 et la position d’équilibre est instable. 2e cas : Ep" (α0) > 0 : on pose Ep " (α 0 ) 2K = ω2 o2 ε + ω2 ε2 = cste ⇔ Et alors : oo ε + ω2 ε = 0 La position d’équilibre est stable, avec des oscillations harmoniques à la pulsation ω autour de cette position. Conclusion Equilibre ⇒ Ep'(α0) = 0 (extremum de Ep) Ep"(α0) > 0 (minimum de Ep) : stable Ep"(α0) < 0 (maximum de Ep) : instable (Les positions d’équilibre stables correspondent aux « puits de potentiel

que celle d’un simple oscillateur harmonique. Les équations de l’élastodynamique doivent être respectées sur un solide déformable étendu, à géométrie potentiellement complexe et sujet à des conditions au contour bien déterminées. Néanmoins, pour des petites vibrations et en présence d’un éventuel faible amortissement, le mouvement global peut être décomposé en la somme de modes propres, chacun se comportant en bonne approximation comme un oscillateur harmonique simple. Nous allons ici étudier les

1 22n +1 = lim (n + 1)2 n →+∞ e (2 n +1) ln 2 = 0 < 1, la série est donc convergente . d / La série est àtermes positifs , on peut donc appliquer le critère d 'équivalence : on a u n = n2 3 n +1 ∼ 1 1 , la série harmonique ∑ est divergente , donc la série ∑ u n est divergente . n n n ⎡ ln(n ) ⎤ u (ln( n )) n 1 e / Critère de D ' Alembert : n +1 = =⎢ ⎥ . ln(n + 1) un (ln(n + 1))n +1 ⎣ ln(n + 1)) ⎦ u u 1 0 ≤ n +1 ≤ on a : ⇒ lim n +1 = 0 < 1, la série