Hermitien

priori indépendants du temps) III-3 Aspects mathématiques: les opérateurs hermitiens (Voir appendice A) On admettra assez facilement que les résultats de mesure de grandeurs physiques ne peuvent être que des grandeurs réelles. Cela impose aux valeurs propres des opérateurs associés d'être réelles. En conséquence, les opérateurs associés aux grandeurs physiques doivent être hermitiens. Puisque les opérateurs sont hermitiens, leurs fonctions propres forment des bases sur lesquelles toutes les fonctions

frontière Formulation variationnelle Problème approché dimanche 11 décembre 11 10 Équations intégrales Méthode des éléments finis de frontière Formulation variationnelle Problème approché Sh est une matrice pleine complexe symétrique (non hermitienne) dimanche 11 décembre 11 10 Méthode des éléments finis de frontière (BEM) • BEM = discrétisation des équations intégrales de frontière • Avantages : pour les géométries complexes (p.e. Airbus A319) le maillage de la surface plus facile à obtenir

4.5.3 Positivité Problème 163 169 170 186 Espaces préhilbertiens complexes 187 Formes sesquilinéaires 188 5.1.1 5.1.2 188 190 Généralités Cas de la dimension finie Espaces préhilbertiens complexes et espaces hermitiens 193 5.2.1 5.2.2 193 197 Produit scalaire hermitien Orthogonalité Géométrie 203 Courbes du plan 204 6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.1.4 6.1.5 204 211 216 220 223 Enveloppe d'une famille de droites du plan Rappels sur l’abscisse curviligne et le rayon de courbure Centre de courbure

polynˆmes d’un endomorphisme o 3.3.2 R´duction d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . e 3.4 Espaces euclidiens, g´om´trie euclidienne, espaces hermitiens e e 3.4.1 Espaces pr´hilbertiens r´els . . . . . . . . . . . . . . . e e 3.4.2 Espaces euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Espaces pr´hilbertiens complexes, espaces hermitiens . e 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

suppose dans cette question que les parties r´elles des valeurs propres de df (0) sont strictement n´gatives. Soit λ0 e e la plus grande des parties r´elles des valeurs propres de df (0). e a) Montrer que pour tout λ > λ0 il existe un produit scalaire hermitien sur Cd , not´ , tel que e Re< df (0)x|x> λ . On pourra commencer par le cas df (0) diagonalisable (dans C), avant de traiter le cas o` df (0) est trigonalisable. u b) Montrer que pour tout λ > λ0 il existe un produit scalaire euclidien (toujours

produit scalaire sur R ou hermitien sur C, soit : x = < x, x >. Un produit hermitien est une forme sesquilin´ eaire < , >: E × E → C (antilin´eaire dans le premier, lin´eaire dans le second argument) qui est positive et non-d´ eg´ en´ er´ ee (i.e. < x, x > 0 et < x, x >= 0 ⇔ x = 0). Exemples : 1) (Rn , ) = (Rn , < , >) avec < x, y >= ni=1 xi yi est un espace de Hilbert (alias espace euclidien). 2) (Cn , < , >) avec < x, y >= ni=1 xi yi est un espace de Hilbert (alias espace hermitien). 1 3) L2 ([0, 1],

elle est (ortho-)semblable a D = diag(λ 1 , λ2, . .., λn ) donc AA = A2 est semblable a D 2 e e ` ` et la condition pr´c´dente est clairement satisfaite. cqfd. e e Une matrice sym´trique r´elle est co-diagonalisable. e e Remarque : une matrice hermitienne n’est pas forc´ment co-diagonalisable. En effet par exemple A = e n’est pas co-diagonalisable car est de rang 1 alors que AA = 0. b. AA = I2 donc la condition est clairement satisfaite. A est co-diagonalisable. 0 −1 dont les valeurs propres ne sont

permet d’identifier le «ressemblance » entre deux signaux Principale propriété : Symétrie hermitienne : [pic] Inégalité de Schwarz : [pic] Décorrélation : [pic] Addition : [pic] Pour les signaux à puissance moyenne totale finie … [pic] (Mêmes propriété que la corrélation pour les signaux à énergie finie) L’autocorrélation d’une fonction x est : [pic] Principale propriété : Symétrie hermitienne : [pic] Inégalité de Schwarz : [pic] Décorrélation : [pic] (cas des signaux aléatoires)

trigonalie e sable. Pour que M soit diagonalisable (resp. trigonalisable), il faut et il suffit que M soit semblable a une matrice ` diagonale (resp. triangulaire sup´rieure). e MP 13 ´ ´ IV. ESPACES EUCLIDIENS, GEOMETRIE EUCLIDIENNE, ESPACES HERMITIENS Cette partie est organis´e autour de cinq objectifs : e - Consolider les acquis de la classe de premi`re ann´e sur le produit scalaire, les espaces vectoriels euclidiens et e e la g´om´trie euclidienne du plan et de l’espace. e e - Introduire les

des coefficients de Fourier Les coefficients de Fourier v´erifient les propri´et´es suivantes : 1. lin´earit´e : soient x(t) et y(t) deux signaux de mˆeme p´eriode T , alors ax(t) + by(t) a pour coefficients de Fourier aXk + bYk , ∗ 2. sym´etrie hermitienne : si le signal x(t) est `a valeurs dans R, alors Xk = X−k , en particulier X0 est r´eel, 3. retard : soit y(t) = x(t − τ ), le signal p´eriodique retard´e de τ , alors Yk = exp(−2jπk Tτ )Xk , 4. bande limit´ee : le signal p´eriodique r´eel x(t)