Hermitien

fournit pas Symboles mathématiques divers 22A4 22A5 ⊤ TAQUET VERS LE BAS ⊥ = dessus → 2E06 ⸆ signe d’interpolation élevé TAQUET VERS LE HAUT = base, dessous → 27C2 ⊥ perpendiculaire à 22B8 MULTIJECTION = multimap, liste associative MATRICE HERMITIENNE CONJUGUÉE 22B9 Opérateurs 22BA 22BB INTERCALE OU EXCLUSIF = aut NON ET → 2305 ⌅ projective NON OU 22BC 22BD Symboles mathématiques divers 22BE 22BF ANGLE DROIT AVEC ARC ⊿ TRIANGLE RECTANGLE Opérateurs de famille 22C0 ET LOGIQUE DE LA FAMILLE

symétriques au cas complexe est constitué par les matrices hermitiennes (c’està-dire dont la transposée est égale à la conjuguée) : toute matrice hermitienne est diagonalisable, et, plus généralement, tout endomorphisme normal est diagonalisable (un endomorphisme est normal si, et seulement si, il commute avec son adjoint ; tout endomorphisme unitaire, c’est-à-dire inversible et de déterminant 1, est normal ; tout endomorphisme hermitien est normal )  0 i  Considérons par exemple la matrice

sup t∈A f (t) où désigne la norme dans F. 76 Espaces vectoriels normés √ d) E étant muni d'un produit scalaire, N (x) = (x|x) définit une norme appelée norme euclidienne si K = R et hermitienne si K = C. Les normes N2 des exemples a) et b) sont des normes euclidiennes ou hermitiennes. e) Si (E 1 ,N1 ),. . . ,(E p ,N p ) sont des espaces vectoriels normés, on définit une norme sur le produit cartésien E 1 × · · · × E p en posant : N (u 1 ,. . . ,u p ) = sup Ni (u i ). 1 i p 24

sup t∈A f (t) où désigne la norme dans F. 76 Espaces vectoriels normés √ d) E étant muni d'un produit scalaire, N (x) = (x|x) définit une norme appelée norme euclidienne si K = R et hermitienne si K = C. Les normes N2 des exemples a) et b) sont des normes euclidiennes ou hermitiennes. e) Si (E 1 ,N1 ),. . . ,(E p ,N p ) sont des espaces vectoriels normés, on définit une norme sur le produit cartésien E 1 × · · · × E p en posant : N (u 1 ,. . . ,u p ) = sup Ni (u i ). 1 i p 24

1 . ps Alors on a log(ζj (s)) = hj (s) + χj (a)Pa (s). a∈Z∗n Des calculs simples sur les caractères montrent que la matrice ϕ(m) × ϕ(m) d’éléments χj (a) pour 0 ≤ j ≤ ϕ(m) − 1 et a ∈ Z∗m est inversible, d’inverse sa conjuguée (hermitienne) divisée par ϕ(m) . Les Pa (s) s’expriment comme des combinaisons linéaires à coefficients non nuls des log(ζj ) et des hj . PGCD ϕ(n) Fonctions génératrices La fonction ζ Le théorème de la progression arithmétique La partie

valeurs propres e e A.1.11 Trace d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` e A.2 A propos de la d´ finition positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.1 Fonction d´ finie positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . e A.2.2 Matrices Hermitiennes d´ finies en signe . . . . . . . . . . e ` e B A propos du r´ gime transitoire B.1 Influence du spectre de la matrice d’´ tat . . . . . . . . e B.2 Influence des vecteurs propres de A . . . . . . . . . . B.2.1 Couplage modes/sortie . . . . . . .

espace vectoriel complexe. e D´finition. On dit qu’une application h : E × E → C est un produit scalaire hermitien si e elle est – lin´aire par rapport ` la premi`re variable : h(x + λx , y) = h(x, y) + λh(x , y) pour e a e tout (x, x , y) ∈ E 3 et λ ∈ C, – antilin´aire par rapport ` la deuxi`me variable : h(x, y + λy ) = h(x, y) + λh(x, y ) e a e 3 et λ ∈ C, pour tout (x, y, y ) ∈ E – hermitienne : ∀(x, y) ∈ E 2 , h(y, x) = h(x, y), – d´finie positive : e ∀x ∈ E \ {0}, h(x, x) > 0. Attention : Certains

moyenne d’une grandeur physique En g´n´ralisant les r´sultats (3.1) et (3.4), nous introduisons le principe e e e suivant : Principe III : ˆ A chaque grandeur physique A, on peut associer une observable A, qui est un op´rateur lin´aire hermitien agissant dans l’espace des fonctions d’onde. e e Si l’´tat de la particule est d´crit par la fonction d’onde ψ(r, t), la valeur e e moyenne a des r´sultats d’une mesure de la grandeur A ` l’instant t est e a donn´e par : e ˆ (3.5) a

∀λ ∈ C . D´finie: < x, x >= 0 ⇒ x = 0E . e Positive: < x, x >≥ 0, ∀x ∈ E. Vocabulaire. On appelle espace pr´ hilbertien tout espace vectoriel muni d’un produit scalaire. e On appelle espace hermitien tout C-espace vectoriel , de dimension finie, muni d’un produit scalaire complexe. On appelle espace hermitien tout R-espace vectoriel , de dimension finie, muni d’un produit scalaire r´el. e R´sum´s de cours: MP-PSI-TSI e e Dans toute la suite, E est un espace pr´ hilbertien. e 22.2 Normes et

tridiagonale et inversible. On suppose que toutes les valeurs propres de J sont r´elles, alors les m´thodes e e de Jacobi et de relaxation pour ω ∈]0, 2[, convergent ou divergent simultan´ment. e De plus, si elles convergent ( par exemple si A est hermitienne d´finie positive), il existe un et un seul param`tre de relaxation e e optimal ω0 dans ]0, 2[: ρ(Lω0 ) = inf{ρ(Lω ) / ω ∈]0, 2[} avec ω0 = et 2 1+ 1 − (ρ(J))2 >1 (35) (36) 16 ρ(Lω0 ) = ω0 − 1 < ρ(L1 ) = (ρ(J))2 < ρ(J) Ce r´sultat