Hermitien

MATLAB pour désigner la transposée de A si A est réelle, ou sa transconjuguée (c’est-à-dire la transposée de sa conjuguée, qu’on note AH ) si A est complexe. Une matrice carrée complexe qui coïncide avec sa transconjuguée AH est appelée matrice hermitienne. Octave 1.1 Octave retourne aussi un message d’erreur quand on tente d’effectuer des opérations entre des matrices de tailles incompatibles. Si on reprend les exemples MATLAB précédents, on obtient : octave:1> octave:2> octave:3> octave:4> A=[1 2

un espace de Hilbert, muni du produit scalaire : (f |g) = f gdµ, X f, g ∈ L2 (X, M, µ) On vérifie que (·|·) est bien un produit scalaire 3 (i.e. une forme bilinéaire symétrique définie positive sur R, ou une forme sesquilinéaire symétrique hermitienne définie positive sur C) sur L2 (X, M, µ). En particulier, l’inégalité de Hölder (dans le cas p = 2) donne l’inégalité de Cauchy-Schwarz : |(f |g)| f 2 g 2 Pour p = 2, aucun Lp (X, M, µ) n’est un espace de Hilbert. 6.2 I NCLUSIONS

´tant un nombre, il est ´gal ` son transpos´ : Y T AT X = Y T AX). e e a e b) Si l’on prend X = Ei et Y = Ej (´l´ments de la base canonique), alors ee T X T AY = Ei AEj = aij . c) On peut avoir besoin d’une extension, que l’on appelle une forme hermitienne, o` X T AY est remplac´ par X T AY ∗ , Y ∗ ´tant le vecteur conjugu´ de u e e e Y (on en a vu le cˆt´ ”technique” dans (80)). oe Exemple : pour n = 3 :    x 2 3 0 X T AY = x y z  3 0 0   y  = 2xx + 3(xy + x y) + zz 0 0 1 z 6.3 Polynˆmes

A=D+T o` D est diagonale de valeurs propres λ1 , . . . , λm et T strictement triangulaire u sup´rieure avec des coefficients O(ε) arbitrairement petits. Soit Nh la norme e 108 Analyse num´rique et ´quations diff´rentielles e e e hermitienne sur Cm ayant (e1 , . . . , em ) pour base orthonorm´e et Ne la norme e a euclidienne induite sur Rm (restriction de Nh ` Rm ). On a alors |||A|||Ne ≤ |||A|||Nh ≤ |||D|||Nh + |||T |||Nh . e Comme |||D|||Nh = ρ(A) et comme |||T |||Nh = O(ε)

mis en oeuvre d´epend de la structure de la matrice A du syst`eme. Matlab utilise dans l’ordre les m´ethodes suivantes : – Si A est une matrice triangulaire, le syst`eme est r´esolu par simple substitution. – Si la matrice A est sym´etrique ou hermitienne, d´efinie positive, la r´esolution est effectu´ee par la m´ethode de Choleski. 42 Y. Mor`ere Initiation Progiciel Matlab det(A) eig(A) : : poly(A) : inv(A) rank(A) trace(A) expm(A) : : : : norm(A) norm(A,2) norm(A,1) norm(A,inf) renvoie

spatiales et 3 coordonnées canoniques). Les quantités physiques traditionnelles (position et énergie) peuvent être remplacés par des opérateurs linéaires dans ces espaces. La physique quantique est désormais réductible aux mathématiques des opérateurs hermitiens linéaires dans un espace de Hilbert. Sa contribution significative en économie, en 1928, est le théorème du minimax qui énonce que, dans un jeu à somme nulle avec information parfaite (chaque joueur connaît les stratégies ouvertes à son adversaire

-->x=R\y; -->norm(R*x-y) ans = 1.134D-13 // mettre le ; pour ne pas submerger l’ecran de chiffres // meme remarque // resolution de Rx=y // norm permet de calculer la norme de vecteurs (et aussi de matrices) // (par defaut la norme 2 (euclidienne ou hermitienne)) Rmq : vous n’obtiendrez pas forc´ment ce r´sultat si vous n’avez pas jou´ avec la fonction rand e e e exactement comme moi... Lorsque la r´solution d’un syst`me lin´aire semble douteuse Scilab renvoie e e e quelques informations permettant

gaussiens 0 0 Pour un vecteur aléatoire Z = (Z1 ; :::; Zd ) , on dé…nit son espérance par E (Z) = ¢ (Z1 ) ; :::; E (Zd )) et sa matrice (E ¡ de variance-covariance (si elles existent ) par V (Z) = E (Z ¡ E (Z)) (Z ¡ E (Z ))0 . Cette matrice est hermitienne positive. De plus, si A est la matrice d’un application linéaire de R d dans Rp , le vecteur AZ admet pour espérance AE (Z) et pour matrice de variance-covariance AV (Z) A0 . Dé…nition 29 Le vecteur X = (X1 ; :::; Xd ) est un vecteur gaussien si

Réciproquement, étant donnée une fonction R(h) à valeurs complexes et définie dans l’ensemble des entiers relatifs Z, alors une condition nécessaire et suffisante pour que R(h) soit la fonction de covariance d’un processus stationnaire est que R(h) soit hermitienne et définie positive, i.e. : 0 n ∀h ∈ Z, ∀ (a1 , ..., an ) ∈ C , R(h) = R(−h) et 2 n n XX i=1 j=1 ai R(i − j)aj > 0 (3.1) Voir les travaux de Phillips & Ouliaris (1988), Choi & Phillips (1993), Diebold, Ohabian & Berkowitz

C, quelle est l’erreur d’approximation de f par fh , o` u h est un param`etre de lissage. Pour illustrer ce principe, nous introduisons deux d´efinitions simples de classes de r´egularit´e. On note f (t)g(t) dt < f, g >= I le produit hermitien usuel sur L2 (0, 1) et {ek (t) = e2 i π k t , k ∈ Z} la base de Fourier associ´ee. D´ efinition 5.3.1 (Espaces de Sobolev sur L2 (0, 1)) Pour s > 0, on appelle espace de Sobolev W s (0, 1) l’espace des fonctions f ∈ L2 (0, 1) qui v´erifient