Hermitien

bilinéaire 43 Produit scalaire 124 44 Espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 130 45 Formes quadratiques 133 46 Transformations orthogonales 136 47 Endomorphismes auto-adjoints 140 48 Problèmes matriciels 146 49 Espaces vectoriels hermitiens 149 VI 152 Fonctions d’une variable 50 Fonctions continues 152 51 Fonctions monotones 155 52 Fonctions usuelles 157 53 Fonctions circulaires inverses 161 VII 163 Calcul différentiel 54 Dérivation 163 55 Fonctions convexes 169

bilinéaire 108 108 113 116 118 121 127 128 43 Produit scalaire 44 Espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 45 Formes quadratiques 46 Transformations orthogonales 47 Endomorphismes auto-adjoints 48 Problèmes matriciels 49 Espaces vectoriels hermitiens VI Fonctions d’une variable 131 131 134 136 139 50 Fonctions continues 51 Fonctions monotones 52 Fonctions usuelles 53 Fonctions circulaires inverses VII Calcul différentiel 141 141 146 149 151 152 154 155 156 157 163 54

L’algorithme mis en œuvre dépend de la structure de la matrice A du système. matlab utilise dans l’ordre les méthodes suivantes : – Si A est une matrice triangulaire, le système est résolu par simple substitution. – Si la matrice A est symétrique ou hermitienne, définie positive, la résolution est effectuée par la méthode de Choleski. – Si A est une matrice carrée mais n’entrant pas dans les deux cas précédents, une Stéphane Balac - Débuter avec matlab 33 factorisation LU est réalisée en utilisant

Ò ØÚ Ê ¿ × Ø × ÙÐ Ñ ÒØ × ×ÓÒØ Ö Ò × ¾ º ¾ È ¿ · ¾  Ô De plus, pour que ce polynˆ ome admette trois racines r´ eelles (non forc´ement distinctes), il faut (´ etudier la fonction associ´ ee) ¼ Ô ¾ . Ê ¼½» ÓÑ Ù ¹Ö½ºØ Ü Espaces hermitiens § HERº½   ¡ ÇÒ ÒÓØ ¼ ½℄ Ë ¸ ¾ ¸ ÓÒ ÔÓ× ´ µ ³ Ð Ñ ÒØ× º ËÓ Ø ´ Ò µÒ¾Æ ÙÒ ×Ù Ø ½ Ò ¼ ½ ℄º ´ Òµ ´ Òµ º ¾Ò ¼ ½µ ü ÕÙ ÐÐ ÓÒ Ø ÓÒ ×ÙÖ Ð ×Ù Ø ´ Ò µÒ¾Æ Ò Ø¹ÓÒ Ò× ÙÒ ÔÖÓ Ù Ø × Ð Ö ¾µ ËÓ ÒØ ´ Ò µÒ¾Æ Ø ´ Ò µÒ¾Æ ÙÜ ×Ù Ø × Ø ÐÐ × ÕÙ Ò Ò ¾ Æ Ø Ò Ò

L’algorithme mis en œuvre dépend de la structure de la matrice A du système. matlab utilise dans l’ordre les méthodes suivantes : – Si A est une matrice triangulaire, le système est résolu par simple substitution. – Si la matrice A est symétrique ou hermitienne, définie positive, la résolution est effectuée par la méthode de Choleski. – Si A est une matrice carrée mais n’entrant pas dans les deux cas précédents, une 33 Stéphane Balac - Débuter avec matlab factorisation LU est réalisée en utilisant

e f |g = A dxf (x)∗ g(x) ∀f,g ∈ H (3.2) Les ´l´ments de cet espace sont appel´s des fonctions d’onde, et not´s ee e e ψ : A → C. ´ CHAPITRE 3. POSTULATS DE LA MECANIQUE QUANTIQUE 17 Notons que | est un bon produit scalaire hermitien, c’est-`-dire qu’il a v´rifie les propri´t´s suivantes. e ee ∀ f, g, h ∈ H , ∀α, β ∈ C : f |αg + βh = α f |g + β f |h f |g = g|f f |f > 0 f |f = 0 ⇔ f est la fonction nulle ∗ (3.3) (3.4) (3.5) (3.6) 3.2 Les notations de Dirac On associe

6. Opérateurs continus entre espaces de Hilbert Chapitre 6 O PÉRATEURS CONTINUS ENTRE ESPACES DE H ILBERT D6. Définitions No D 6.1 D 6.2 D 6.3 D 6.4 D 6.5 D 6.6 D 6.7 D 6.8 D 6.9 Notion définie Adjoint de A, A∗ A auto-adjoint, self-adjoint ou hermitien A normal A unitaire A projecteur orthogonal A positif, A ≥ 0 Racine carrée de A, A1/2 Module de A, |A| Écriture polaire de A, A = UD Définition H, K espaces de Hilbert, A ∈ L(H, K) ∀x ∈ H, ∀y ∈ K, Ax, y = x, A∗ y . H espace de Hilbert, A ∈ L(H), A

de Banach pour p 2 [1;+1[. Cas p = 2. Montrons que L2(¹) est un espace de Hilbert. On sait d¶ejµa que L2(¹) est un espace de Banach pour la norme kfkL2 = ( R jfj2d¹)1=2. Il reste juste µa veri¯er que cette norme est associ¶ee µa un produit Hermitien. Pour cela on introduit pour f; g 2 L2(¹) l'application suivante B(f; g) = Z fgd¹: Cette application est bien d¶e¯nie sur L2(¹) µa valeur dans C grace µa l'in¶egalit¶e de HÄolder. elle est bien lin¶eaire par rapport µa la premiµere variable

positive A, à déterminer une matrice triangulaire inférieure L telle que : A=LLT. En effet, nous savons que la matrice de corrélation d’un processus stochastique discret, noté A de dimension , admet trois propriétés fondamentales : A est une matrice hermitienne : ; A est une matrice de Toeplitz carrée ; A est une matrice définie semi-positive : . Dans notre cas, nous avons alors la relation de Cholesky suivante : Avec : La théorie mathématique et l’algorithme concernant la méthode de Cholesky se trouve

stationnaire a l’ordre 2, suppos´ centr´. On note γ la fonction d’autocovariance de ` e e X t e – γ(k) = E(Xn Xn−k ) est une matrice carr´e d’ordre p. t . En particulier, la matrice de variance-covariance du processus X est une – γ(k) = γ(−k) matrice hermitienne (sym´trique dans le cas r´el) puisque γ(0) = γ t (0). e e – Dans le cas p = 1, |γ(k)| ≤ γ(0). – (γ(k))k∈Z est une famille de type positif, c’est-`-dire que pour tout A 1 . . . Ak de Cp et tout a n1 . . . n k k k At γ(ni − nj )Aj ≥ 0. i i=1