Hermitien

enfin x∗ (−t) X ∗ (f ) . En résumé, x(t) X(f ) x(−t) X(−f ) x∗ (t) X ∗ (−f ) x∗ (−t) X ∗ (f ) Ces différentes relations permettent de donner toutes les relations de symétrie de la transformée de F OU on notera la propriété de symétrie hermitienne vérifiée par la transformée de F OURIER des signaux réels : X(f ) = X ∗ (−f ) RIER. Pour commencer, on en déduit que, si x(t) est réel, alors – la partie réelle de X(f ) est paire, – la partie imaginaire de X(f ) est impaire, – le module de X(f

euclidien (ou hermitien dans le cas complexe). Il s’agit donc d’espaces de Banach dont la norme est associ´e ` un e a produit scalaire. On peut ainsi utiliser (avec quelques pr´cautions) l’intuition e g´om´trique de l’espace euclidien pour travailler sur ces espaces. e e Dans tout ce chapitre, nous prendrons comme corps de base K = R ou C. 7.1 G´n´ralit´s e e e Nous allons d´finir en premier lieu l’extension purement alg´brique de la notion e e d’espace euclidien ou hermitien ` la dimension

dx et par l’´galit´ de Parseval : e e 1 |Cn | = L n=−∞ 2 +∞ 1 1 |f (x)| dx = |A0 |2 + 4 2 −L/2 2 L/2 +∞ |An |2 + |Bn |2 n=1 (3.11) e e ee e Si f est r´elle, An et Bn sont r´els et on a l’importante propri´t´ de sym´trie hermitienne : ⋆ C−n = Cn (3.12) qui divise par 2 le coˆt des transform´es de Fourier num´riques ou discr`tes. La s´rie de u e e e e Fourier (3.5) converge vers f (x) en tout point x o` f est continue, et vers la demi-somme u des limites ` gauche et `

φ(t) = i |Ci (t)|2 (12.16) pour tout t. D’ici on peut obtenir (cf. TD) que l’hamiltonien est hermitien : H ij (t)∗ = H ji (t). (12.17) L’´quation (12.17) dit que s’il n’y a pas de perte d’intensit´ dans le processus e e physique, par exemple si la particule ne se d´sint`gre (ne disparaˆ pas ou si on e e ıt) ne met pas de masques d’arrˆts dans les appareils, l’hamiltonien est hermitien e (r´el). e 12.4 Exemples Dans les exemples qui suivent, on suppose que l’hamiltonien ne d´pend

électron de spin noyaux à spin non nuls • Les termes couplé à un champ magnétique , est donné par la somme de trois termes2 : et peuvent être regroupés et approximés dans le cadre de la théorie de la perturbation par le terme : hermitienne carrée de dimension 3. • , entouré de , avec une matrice Le terme de structure hyperfine, lui-même lui même constitué de deux composantes : le terme d'interaction tion magnétique dipôle-dipôle dipôle et le terme d'interaction par

ces questions. Problème 1 : inégalités isopérimétriques pour les polygones. A. Première partie. Soit E l’espace vectoriel des applications de Z/nZ dans C. 1) Montrer que < f , g > = définit un produit scalaire hermitien sur E, et que les fonctions (hk)0kn1 définies par hk(m) =.exp( (mZ/nZ) forment une base orthonor-mée de E. 2) Comparer les décompositions dans cette base de deux fonctions f et g vérifiant : (1) == 0 (2) mZ/nZ = f(m+1)

Transforms in the Complex Domain et The Fourier Integral and certain of its applications, ainsi que Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series. Je promets de m’y mettre bientôt. 3 Semaine 1 1. Produit scalaire hermitien. Espaces de Hilbert. L’espace l2 (N) est complet. 2. Si L ⊂ K avec K Hilbert, alors L est Hilbert si et seulement si il est fermé dans K. Projection orthogonale sur L, fermé dans K. Pour tout sous-espace L ⊂ K on ⊥ a L = (L⊥ ) . 3. Procédé de Gram-Schmidt

symetriques - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Theoreme : Soit A une matrice symetrique a coefficients reels. Alors le polynome caracteristique de A est scinde sur R. Remarques : La meme demonstration marche pour une matrice hermitienne, c'est-a-dire une matrice a coefficients complexes qui est egale a sa transposee conjuguee. Theoreme : Soit E un espace vectoriel euclidien et f un endomorphisme symetrique de E. Alors f est diagonalisable dans une base orthonormee de E

aussi une matrice carr´e de taille n × n. Cela motive la d´finition suivante (` mettre en parall`le e e a e avec la d´finition de matrice sym´trique) : e e D´finition 3.7.6. Soit A ∈ Mn (C). On dit que A est une matrice hermitienne si A∗ = A. e Exemple : La matrice 1 i −i 1 est hermitienne. 3.7.3 Trace n D´finition 3.7.7. Soit A ∈ Mn (K). Le nombre e Tr A = j=1 (A)jj est appel´ trace de la matrice A. e ´ Etudions les propri´t´s de la trace. ee Lemme 3.7.8. On a 1) ∀ A, B ∈ Mn (K), 2) ∀

que les différences par rapport au cas réel. • On appelle produit scalaire hermitien sur E toute application w définie sur E × E à valeurs complexes telle que : ◦ l’application w est linéaire à droite, ◦ l’application w est semi-linéaire à gauche, c’est-à-dire que pour tout y ∈ E et pour tout (x, x , l) ∈ E × E × C, on a w(x + lx , y) = w(x, y) + lw(x , y), ◦ pour tout (x, y) ∈ E × E, w(x, y) = w(y, x) (w est hermitienne), ◦ pour tout x ∈ E, w(x, x) 0 (positivité), ◦ si x ∈ E vérifie w(x, x) =