Hermitien

la calculer. ´ ´ CHAPITRE 1. PRINCIPES GENERAUX 7 1.2.1 ´ Enonc´ e Postulat 3 : Propri´ t´ s observables et op´ rateurs ee e A chaque propri´ t´ physique, O(qk , pk ) du syst` me correspond un op´ rateur lin´ aire et ee e e e ˆ hermitien O construit selon la r` gle de correspondance suivante : e – coordonn´ es e qk → qk ˆ – impulsions conjugu´ es (quantit´ s de mouvement) e e pk → pk ≡ ˆ h ∂ ¯ i ∂qk (1.10) (1.9) Note : Comme l’op´ rateur de position qk est multiplicatif (multiplication

lf = l c, f (2.1.11) – le produit scalaire est dit défini positif si l’on a : c, c > 0 si c = 0 (2.1.12) Un espace vectoriel complexe muni d’un produit scalaire défini positif est appelé un espace préhilbertien ou encore un espace hermitien. b) Propriétés du produit scalaire Si pour tous c et f différents du vecteur nul, on a : c, f = 0 (2.1.13) on dit que les vecteurs c et f sont orthogonaux. D’autre part, les propriétés (2.1.9) et (2.1.11) donnent : lc, f = f, lc ∗

fonctions implicites 7.5 Intégrales multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 33 34 34 34 35 Algèbre euclidienne et hermitienne 8.1 Espaces euclidiens et hermitiens . . . . . . . 8.2 Formes quadratiques et hermitiennes . . . . 8.3 Endomorphismes orthogonaux et unitaires 8.4 Endomorphismes autoadjoints et normaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 37 38 39 39 A Exercices et problèmes de révision

la transposée d’un matrice. La commande A = [1 2 3;4 5 6;7 8 9]' produit la matrice A = 1 4 7 2 5 8 3 6 9 Les lignes de A' sont les colonnes de A, et vice versa. Si A est une matrice complexe, A' est sa transposée conjuguée, ou transposée hermitienne. Pour obtenir une transposée non conjuguée, il faut employer les deux Caractères point-prime (.'). Les variables matricielles et vectorielles peuvent être ajoutées, soustraites, et Multipliées comme des variables ordinaires `a condition que leur

par  i ,  0  et −2i. An d'obtenir une 1 1 1 base orthonormée de vecteurs propres, il sut de normaliser ces vecteurs (lesquels, en vertu de la théorie générale, sont automatiquement orthogonaux les uns aux autres pour le produit scalaire hermitien canonique sur C3 ). Ainsi P et D dénies par  6 0 0 0  D = 0 18 0 0 −24  et i √  3  i  P = √  3  1 √ 3  i −√ 2 0 1 √ 2  i √ 6  2i   −√  6 1  √ 6 conviennent, ce que l'on peut, après coup, vérier directement.

e h D´finition 2. (Produit scalaire complexe) Soit Eun C-espace vectoriel. On appelle produit scalaire hermitien sur E, toute forme sesquilin´aire e hermitienne et d´finie positive, c’est ` dire toute application ϕ : E × E → C telle que : e a 1) ∀(x, y1 , y2 , λ) ∈ E 3 × R, ϕ x, y1 + λy2 = ϕ x, y1 + λϕ x, y2 (lin´arit´ ` droite); e ea 2) ∀(x, y) ∈ E 2 , ϕ(x, y) = ϕ(y, x) (sym´trie hermitienne); e 3) ∀x ∈ E, ϕ(x, x) 0 (positivit´); e 4) ∀x ∈ E, ϕ(x, x) = 0 =⇒ x = 0E (s´paration). e Le couple (E, ϕ)

18 4.6.1 Laser DFB 18 4.6.2 Modulateur Mach-Zehnder 20 4.6.3 Fibre optique 22 4.6.4 Photodiode 25 5. Architectures Proposées 27 5.1 Vue système de la chaîne de transmission 27 5.1.1 Émetteur optique SSB-OFDM basé sur la symétrie hermitienne 28 5.1.2 Émetteur optique SSB-OFDM basé sur le mixage électrique 29 5.1.3 Émetteur optique SSB-OFDM basé sur la transformée d’Hilbert 29 6. Bilan de puissance et de bruit 30 6.1 Calcul préliminaire concernant le modulateur Mach-Zehnder 30

partielles de l'objet, potentiellement corrélées. Notion d'observable[modifier | modifier le code] Très curieusement, une grandeur physique, appelée une observable, n'est plus une fonction f (x,p) réelle, mais est représentée par un opérateur hermitien agissant sur un espace de Hilbert . La valeur de cette grandeur physique est l'une des valeurs propres réelles de cet opérateur3 : Si l'état du système à l'instant de la mesure est un vecteur de l'espace , alors ce vecteur admet la décomposition

Nous verrons plus bas e qu’on peut construire un isomorphisme canonique entre V et V ∗ ` l’aide d’un produit scalaire. a En physique quantique il est d’usage d’appeler produit scalaire sur V ce qu’on appelle en math´matique e un produit scalaire hermitien. Rappelons qu’il s’agit d’une forme sesquilin´aire < ., . > : V × V → V , qui e a ` tout couple de vecteurs (v, w) associe le complexe < v, w >, et v´rifiant les propri´t´s suivantes 1 : e ee 1. Notons que la lin´arit´ se fait par rapport a la seconde

définie positive, c’est -à-dire http ://www.maths-france.fr 4 c Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés. 4 ESPACES EUCLIDIENS Un produit scalaire complexe est une forme sesquilinéaire hermitienne définie positive, c’est -à-dire Œ ∀(x, y) ∈ E2 , (x|y) = (y|x), (( | ) est à symétrie hermitienne)  ∀(λ, µ) ∈ C2 , ∀(x, y, z) ∈ E3 , (λx + µy|z) = λ(x|z) + µ(y|z) (( | ) est linéaire par rapport à la première variable et donc sesquiilinéaire), Ž ∀x ∈ E, (x|x) ≥ 0, (( | ) est positive)  ∀x ∈