Hypoténuse

assumption is apparatus is moving to the right (because we want to measure this movement by an anticipated shift in the interference pattern) during time t3 mirror C will move to the right by a distance ut3 light has therefore to travel along the hypotenuse of right triangle BC’1⁄2B’ (ct3)2 = L2 + (ut3)2 L2 = c2t32 – u2t32 = (c2-u2)t32 L So t3 = L/ c2 −u2 , = c⋅ 1−u2 c2 triangle is symmetric, so time it takes for the light to return to B is 2 t3 2L 2 t 3 = c 1 − u 2 ≠ 2L t 1 + t 2

Justifier la nature du quadrilatère AIJD et calculer son aire. (AD) // (IJ) et (IJ) orthogonale à (AI) donc AIJD est un trapèze rectangle Il faut calculer sa hauteur donc AI Dans le triangle ABS isocèle rectangle en A, I est le milieu de son hypoténuse donc AI = SI = IB = BS 2 Or, d’après le théorème de Pythagore, BS2 = AB2 + AS2 BS2 = 62 + 62 BS2 = 72 donc BS = 72 = 6 2 On a donc AI = 6 2 2 = 3 2 De plus, IJ = BC 2 = 62 = 3 (voir longueur du segment joignant

lien externe: homeomath) -théorème de Fermat En arithmétique, Diophante laisse encore un théorème élégant : « Tout nombre premier de la forme 4n+1 est la somme de 2 carrés.» Problème résolue par Diophante: Trouver 4 triangles rectangles de même hypoténuse. 65²= 39²+52² 65²= 25²+60² 65²= 63²+16 65²= 56+33 3²+4²= 5²x13 <=> 39²+52²= 65² 5²+12²= 13²x5 <=> 25²+60²= 65² (a²+b²) (c²+d²)= (ac+bd)²+ (bc-ad)² (2²+3²) (2²+1²)= (2xé+3x1)²+ (3x2-2x1)² (a²+b²) (c²+d²)= (ac+bd)²+(bc-ad)² (3²+4²)x(5²+12²)= 63²+16²

symétriques par rapport à la droite d  y = x B(b,a) d E C Démonstration : A(a,b) 2 Les côtés des angles droits des  rectangles OAD et OEB sont respectivement égaux ( OE  OD = a et EB  AD = b) ces triangles sont isométriques 1  a) leurs hypoténuses sont égales : OB = OA  le  OAB est isocèle. D O b) leurs angles correspondants sont égaux : 1 = 2  45° - 1 = 45° - 2,  d est bissectrice du triangle 0AB Comme le  OAB est isocèle : d est aussi hauteur et médiatrice du  OAB  BC  CA et

Proportion. Si vous le permettez, nous allons passé au dessin. Exercice 1 : Voyez la Fig 4 D c 2 E A B C c On donne le segment AB = c , sur la droite (j’ai oublié de vous représenter Y) BY perpendiculaire à AB AB c On porte BD = = 2 2 on joint AD (hypoténuse) c puis on porte DE = DB = 2 € € avec A comme centre, on décrit l’arc de cercle EC; AC AB C est le point cherché, tel que = CB AC € € € 4 Exercice n°2 : reportez vous à la Fig 5 a G F a a 2 A O b C A On peut se donner le segment

double : cos(2T) = cos2(T) – sin2(T) = 2cos2(T) – 1 = 1 – 2sin2(T) tan a = 2 tan a/2 1 - tan2 a/2 tan (2T) = 2tan(T) 1 - tan2 (T) Cosinus, sinus et tangente d’un angle aigu : coté adjacent à D cos(D) = hypoténuse coté opposé à D sin(D) = hypoténuse tan(D) = sin (D) cos (D) hyp D oppo adjacent 11 Formules d’ Euler : ejT + e-jT cos(T) = et 2 M tangente x cosinus Addition : tan a + tan b sin (a + b) = sin a . cos b + sin b . cos a tan

c' C. Sinus – cosinus –tangente Par définition dans un triangle rectangle, pour un angle autre que l'angle droit : sin α = a longueur du côté opposé à l' angle α = = cos β longueur de l' hypoténuse c cos α = longueur du côté adjacent à l' angle α b = = sin β longueur de l' hypoténuse c tg α = longueur du côté opposé à l' angle α a sin α 1 = = = longueur du côté adjacent à l' angle α b cos α tg β Si, par ailleurs, dans une deuxième démarche, on inscrit le triangle

CORRMathématiques 9-10-11 © CIIP – LEP, 2013 Page 22Grandeurs et mesures 11e Corrigé GM82 Quatre développements 1. V = 1,53 = 3,375 cm3 2. V = · 1,5 · 1,5 = 5,06 cm3 3. V = · 1,5 = 6,75 cm3 4. V = 6 · 1,5 · 1,5 = 13,5 cm3 3 + 1,5 2 3 · 3 2 Corrigé GM83 Volume et capacité a) 7 dl = 700 cm3 e) 9 m3 = 90 hl b) 0,008 m3 = 8000 cm3 f) 121 dm3 = 0,121 m3 c) 3000 l = 30 hl g) 520 hl = 52000 l d) 19,6 mm3 = 0,0196 ml h) 25 cl = 250 cm3 Corrigé GM84 Un pavé de plus Atotale = 2 · · 16 + 12(32 + 20 + 20 +

donc enlevé). Rares (moins de 9 %) ont été les copies qui n’ont pas été sanctionnées par des pénalités. 10% d’entre elles étant pénalisées de 5 points ! Il convient de rappeler l’écriture des termes mathématiques de base comme « Pythagore » et « hypoténuse ». De plus, la présentation et l’écriture de certaines copies interrogent sur les motivations de candidats qui se destinent au métier de professeur des écoles. La mauvaise calligraphie de quelques – rares – copies rendait la lecture parfois difficile

donc P est le milieu de [MT]. (OP) et MPN est un triangle rectangle c'est un rectangle. Les diagonales (TN) sont parallèles. D'après le inscrit dans un cercle de centre O. d'un rectangle se coupent en leur théorème de la droite des Donc son hypoténuse [MN] est un milieu. Donc O est le milieu de [MN]. milieux, O est le milieu de [MN]. diamètre du cercle et O son milieu, Liens: Partie 1 Eclairage Parallélogramme et propriétés - Aide Triangle rectangle et cercle - Aide Organigrammes - Aide Démonstration