Image matricielle

une résolution pour le représenter graphiquement. Plus la résolution est élevée moins les pixels sont gros. Nous créerons des images numériques en utilisant les pixels que l'on appelle des images matricielles ou(pixélisées ou image bitmap). PHOTOSHOP photoshop est un logiciel d'édition d'images matricielles, il ne lui est pas possible d'exporter des images au format vectorielle. Le format JPEG le format JPEG est un format très léger qui utilise la compression. Plus le fichier est léger, plus la qualité

constructions en réalité virtuelle. En particulier dans le cadre du cinéma, elle contribue à améliorer le rendu des images des personnes des objets… III. L’IMAGE Une image est représentée par un tableau à deux dimensions dont chaque case est un pixel. Pour représenter informatiquement une image, il suffit donc de créer un tableau de pixel donc chaque case contient une valeur. 1. Les types d’image Il existe en général deux types d’image : l’image bitmap et

(K) ; bref, à manipuler les égalités de la forme (x1 , x2 , . . . , xn ) =  .  .  .  . xn De même, si n = 1, vous manipulerez les égalités de la forme (x1 , x2 , . . . , xp ) = x1 1.3 x2 · · · xp . Produit matriciel Définition (Produit matriciel) Soient A ∈ Mp,q (K) et B ∈ Mq,r (K). Par définition, le produit de A par B, noté A × B ou q AB, est la matrice aik bkj 1 i p 1 j r k=1   a11       a21       .  .  .     ap1

gq) f(ej) = g(fi) = (gof)( ej) = g[f(ej)] = g = = soit encore : (gof)( ej) = en introduisant les termes ckj (gof)( ej) = donc : ckj = Soit pratiquement : Propriétés du produit matriciel : 1) A(q, p), B(p, n). AB n’est possible que si le nombre de colonnes de A = nombre de lignes de B. 2) Si AB existe, BA existe si et seulement si les deux matrices sont carrées et de même dimension. 3) AB BA (en générale) 4) (AB)C = A(BC)

Économétrie 5 édition e Annexes : exercices et corrigés William Greene New York University Édition française dirigée par Didier Schlacther, IEP Paris, université Paris II Traduction : Stéphanie Monjon, université Paris I Panthéon-Sorbonne Le présent texte est la traduction de Solutions Manual to Econometric Analysis, 5th edition, de William Greene, publié par Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, États-Unis. Copyright © 2003 Pearson Education Inc. Authorized translation

HEM 1ère année, 1er semestre, Année universitaire : 2010/2011 MATHEMATIQUES ECONOMIQUES I ALGEBRE LINEAIRE Fiche synthèse n°1 Matrices - Opérations * Nous rencontrons le calcul matriciel et les systèmes linéaires dans différentes disciplines : gestion, économie, recherche opérationnelle, statistique, programmation, optimisation, informatique, logistique, modélisation de situations économiques réelles etc.… * Une matrice peut être définie comme

Printemps 2010 Chap. I. Calcul Matriciel 1 Chap. I. Calcul Matriciel Printemps 2010 Printemps 2010 Chap. I. Calcul Matriciel 2 Dans tout ce qui suit, K désigne R ou C. 1 Dénitions et propriétés Un tableau rectangulaire, de nombres ( ∈ K ), de la forme  a  11   a21   .  .  . am1 a12 a22 ... ... a1n a2n         . . . (1) am2 ... amn est appelé matrice. Les nombres aij sont appelés coecients de la matrice. Les lignes horizontales

15 Exemple. Voici le calcul des variances et des ´cart-types pour l’exemple des notes. e 1 (11 − 13.5)2 + (12 − 13.5)2 + · · · + (16 − 13.5)2 = 2.917 6 σ(X(1) ) = 1.708 1 Var(X(2) ) = 6(13.5 − 13.5)2 = 0 6 σ(X(2) ) = 0. Var(X(1) ) = • Notation matricielle La variance s’´crit naturellement comme la norme d’un vecteur. Cette interpr´tation e e g´om´trique est utile pour la suite. e e On d´finit la matrice des moyennes arithm´tiques, not´e X, par : e e e   X(1) · · · X(p)  . . . , . .  X= . .

maths.txt Propriétés des matrices triangulaires[modifier] Une matrice triangulaire à la fois inférieure et supérieure est une matrice diagonale. Le produit de deux matrices triangulaires inférieures (respectivement supérieures) est une matrice triangulaire inférieure (respectivement supérieure). Plus généralement l'ensemble des matrices triangulaires supérieures (resp inférieures) est une sous algèbre (non commutative) de Mn(K), ensemble des matrices de taille n a valeur dans le corps K. La transposée

dit que la multiplication matricielle est une loi interne dans l’ensemble Mn (R). Proposition 1 Nous avons les propri´et´es suivantes : – ∀M, N, P ∈ Mn (R) on a : M.(N.P ) = (M.N ).P (associativit´ e de la multiplication matricielle) ; – ∀M, N, P ∈ Mn (R) on a : M.(N + P ) = (M.N ) + (M.P ) (la multiplication est distributive par rapport a ` l’addition) ; – ∀M ∈ Mn (R) on a : M.In = In .M = M (la matrice unit´e In est ´ el´ ement neutre pour la multiplication matricielle). Preuve. Ces r´esultats ont