Indépendance linéaire

Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé Applications linéaires, matrices, déterminants Exercice 1. Soit défini pour tout ( ( ) ) par ( ) 1. Montrer que est linéaire. ( ). 2. Déterminer Allez à : Correction exercice 1 Exercice 2. Soit ( ) définie pour tout vecteur ( ) ( 1. Montrer que est une application linéaire. ( ( )). 2. Donner une base de ( ), en déduire 3. Donner une base de ( ). Allez à : Correction exercice 2 Exercice 3

directeur. Le coefficient p est appelé ordonnée à l’origine. Remarques : 1. Le nombre p est appelé ordonnée à l’origine car f (0) = p. 2. — Si m = 0 : f (x) = p, on obtient une fonction constante ; — Si p = 0 : f (x) = mx, on obtient une fonction linéaire. Propriété : La représentation graphique de la fonction affine f définie sur R par f (x) = mx + p est la droite D d’équation y = mx + p. Cette droite passe par le point de coordonnées (0 ; p). Remarque : Pour tracer une droite, il suffit d’avoir deux

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2 m = masse, v = vitesse on mesure m = 9.5 ± 1.8 kg, v = 7.35 ± 0.23 m/s ! #E #E v2 "E = "m + "v = "m + mv"v #m #v 2 "E "m "v 1.8 0.23 = +2 = +2 = 0.25 = 25% E m v 9.5 7.35 E = 257 ± 65 kg m2/s2 TP de Physique Générale - EPFL 9 ! Régression linéaire (1) On mesure deux séries de grandeurs xi et yi . Existe-t-il une fonction y = f(x) qui traduit une relation entre le deux grandeurs? Exemple: droite de régression y = ax + b pour la quelle l'incertitude sur les xi est négligeable, et l'incertitude

la fonction f(x,y) = 2x+xy sous la contrainte 2x+4y=6 Solution 4. Exercices généreaux : Voir le Site Objectifs - Modéliser les problèmes de programmation linéaire - Résoudre les problèmes de programmation linéaire graphiquement Modélisation d’un problème de programmation linéaire 1- Introduction La programmation linéaire peut se définir comme une technique mathématique permettant de résoudre des problèmes de gestion et particulièrement ceux où le gestionnaire doit déterminer, face

•  •  •  Introduction : Notion de code Définition, distance, effacements et erreurs Code de Hamming Codes détecteurs d erreur –  LFSR et polynômes. Corps de Galois. –  Codes CRC –  Propriétés. Applications •  Codes correcteurs : Code linéaire, Reed Solomon –  Codes cycliques et Reed-Solomon •  Autres codes et applications –  Rafales d erreurs. Code CIRC. 55 Exemple: contrôle de parité dans TCP 7 Application (HTTP,FTP, DNS) 4 Transport (TCP, UDP) 3 TCP Packet

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 2 4 6 8 10 12 14 1. Ajustement linéaire : Méthode des moindres carrées Le nuage de points permet de spécifier la forme de la relation , c’est à dire de trouver la courbe qui ajuste le mieux le nuage de point ainsi représenté. Cette courbe peut être : - une droite en parle dans ce cas d’ajustement linéaire - parabolique en parle d’ajustement non linéaire L’objectif donc du nuage de point est de trouver la courbe qui passe la plus proche

` ´ Algebre lineaire Algorithme du simplexe Algorithme du simplexe ` ´ Une solution a la programmation lineaire Hugues Talbot Laboratoire A2SI 18 mars 2008 ´ ´ Resume ` ´ Algebre lineaire Algorithme du simplexe Plan ` ´ Algebre lineaire Algorithme du simplexe Formulation et forme standard Notations Recherche d’une solution optimale ´ ´ Resume ` ´ Algebre lineaire Algorithme du simplexe Matrices, inverses etc • Il est necessaire de

b) On cherche x tel que f(x) = 1 donc tel que 3x + 5 = 1. 4 Donc 3x = – 4 et x = – . 3 a) Faux b) Vrai c) Faux Une fonction affine est définie sur ‫ ޒ‬par f(x) = ax + b avec a et b dans ‫.ޒ‬ Une fonction linéaire est définie sur ‫ ޒ‬par f(x) = ax. Donc f est affine, g est linéaire, h est affine et ᐉ est affine car ᐉ(x) = x2 + 10x + 25 – x2 – 4x – 4 = 6x + 21. a) f(5) – f(1) = 2 × 5 – 3 – (2 × 1 – 3) f(5) – f(1) = 10 – 3 – 2 + 3 f(5) – f(1) = 8 f(5) – f(1) étant positif, f(5) est supérieur

d’un repère orthogonal d’unités graphiques : 2 cm pour une année sur l’axe des abscisses et 1 cm pour 20 adhérents sur l’axe des ordonnées, représenter le nuage de points associé à la série  xi , yi  2. Calculer le coefficient de corrélation linéaire de cette série statistique. Interpréter le résultat 3. Déterminer une équation de la droite d’ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés et la tracer sur le graphique précédent (les coefficients seront arrondis à l’unité).