Intégrabilité

continue en a Théorème 0.2 (généralisation) (fn )n une suite de fonctions fn : [a, b] → R. On suppose : i) fn −→ f CU (converge uniformément) dans [a, b] ii) ∀n ∈ N : fn continue dans [a, b] Alors : f est continue dans [a, b] Théorème 0.3 (CU et intégrabilité) (fn )n une suite de fonctions fn : [a, b] → R. On suppose : i) fn −→ f CU (converge uniformément) dans [a, b] ii) ∀n ∈ N : fn est intégrable dans [a, b] Alors j) f est intégrable dans [a, b] ∫ b ∫ b ∫ b jj) lim fn (t)dt = lim fn (t)dt = f (t)dt

calculer la primitive explicitement, alors on cherche sa limite. Sinon, on majore la primitive par une constante. • Comparer avec une série ; cela nécessite un dessin : VOIR COURS SUR LES SÉRIES. 4 Convergence absolue d’une intégrale et intégrabilité d’une fonction 4.9 Définition : On dit que f : [a, b[→ K continue par morceaux possède une intégrale impropre absolument convergente sur [a, b[ si |f | possède une intégrale impropre. On dit b b que a f (t) dt est absolument convergente

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés Suites d’intégrales impropres 1 b) Calculer, pour n ∈ N , π/2 Exercice 1 On pose [ 00682 ] [correction] 0 +∞ Jn = 0 (on procédera par récurrence) c) En déduire dx (1 + x3 )n+1 +∞ a) Calculer J0 . b) Former une relation de récurrence engageant Jn et Jn+1 . c) Etablir qu’il existe A > 0 tel que 0 π/2 ln(2 sin(t/2)) cos(nt) dt 0 Exercice 4 On pose +∞ un = 0 0 n t − [t] 1 dt = t(t + n) n 0 [ 03584 ] [correction] +∞

On a h  : t  e  h  t  2 2 te  2t2 2t2 est de classe C 1 sur R,  2  0 donc e  t  O t12 , t  O t12 . 2 2.2) Soit f : x, t  e ixt e t . Vérifions les hypothèses du théorème de dérivation: i) Intégrabilité de t  fx, t: On a t  e ixt e t est continue sur R et 2 |fx, t| e t 2 t  O t12  donc t  fx, t intégrable sur R. f 2 ii) Continuité de x : On a x  e ixt e t est de classe C 1 sur R donc f x f x

CHAPITRE 4 LA TRANSFORMÉE DE F OURIER 4.1 Fonctions localement intégrables Soit I un intervalle de R et soit f : R −→ R une application. Définition 4.1.1 On dit que f est localement intégrable sur I si f est intégrable sur tout intervalle fermé borné contenu dans I. C’est à dire, f est localement intégrable sur I, si quelque soit [a, b] ⊂ I, alors b a f (x)dx existe. Remarque 4.1.1 Il est clair que toutes les fonctions continues sont localement intégrables. On note par Loc(I, R) = { f :

Le Calcul Intégral niveau maturité Daniel Farquet Eté 2008 Table des matières 1 Introduction 2 2 Intégrale indéfinie 2.1 Définitions et généralités . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Déf. d’une primitive . . . . . . . . . . . 2.1.2 Primitives d’une fonction . . . . . . . . 2.1.3 Déf. d’une intégrale indéfinie . . . . . . 2.1.4 Quelques propriétés . . . . . . . . . . . 2.2 Recherche de primitives . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Intégration par identification . . . . . . 2.2.2 Intégration par parties

Exercices - Formules intégrales de Cauchy - Inégalités de Cauchy - Applications : corrigé Intégration complexe Exercice 1 - Avez-vous compris ? - L3/M1 Le chemin est paramétré par t → (t, t2 ), où t ∈ [1, 2]. On a donc, le long du chemin, z = t + it2 , dz = (1 + 2it)dt, et donc 2 I= 1 7 (t − it2 )(1 + 2it)dt = 9 + i. 3 Exercice 2 - - L3/M1 On peut paramétrer l’arc de cercle par z = 2eit , 0 ≤ t ≤ π. Il vient π/2 I= 0 (4e2it + 6eit )2ieit dt = −8 44 i− , 3 3 après un petit

UE7 - MA5 : Analyse INTEGRALES GENERALISEES I. Généralités Dans le chapitre précédent a été définie et étudiée la notion d'intégrale de Riemann pour des fonctions définies sur un intervalle fermé et borné [a , b] dites intégrables au sens de Riemann. On va maintenant s'intéresser aux fonctions f à valeurs réelles ou complexes définies sur un intervalle [a , b[ (resp. ]a , b]), b pouvant être +& (resp. a pouvant être -&), et qui ne sont pas nécessairement bornées. On considérera ensuite les fonctions

e TI1"éo~è~e" (Théorème de convergencemonotone 4.1 d-;:; BepI>o-Levi) . Soit (fn)nEN une suite de fonctions mesurables positives de (X, A,.u) -t [0, +00], qui converge simplement vers une fonction f en croissant {i.e pour tout x E X, tout nE N, . f n (x) ::; fn+ 1(x)). Alors f est mesurable et pour tout A E A, lim n-+oc j. fnd.u = { A lim fndJ.L lA n-++oo = jA j du, temm~ "4.2 (L~"mme Fatou) de Soit (fn (X, A, J.L) -t [0, +OOJ))nEN une suite de fonctions alors lim

œuvre •Aide à la mise en œuvre •maintenance •maintenance coût/chiffrage prestations annexes évolutivité de l'outil et de son environnem ent lim ites techniques intégrabilité avec autres applicatifs LIMITES TECHNIQUES LIMITES TECHNIQUES •Sécurité •Sécurité •Capacité •Capacité •performance •performance INTEGRABILITE INTEGRABILITE •Couverture générale de l’offre •Couverture générale de l’offre •Autres modules intégrés ou non •Autres modules intégrés ou non •Autres applicatifs connectables •Autres