Intégrabilité

densité f . CHAPITRE 1 — Probabilités 21 1.2.2 Espérance, variance et moments d’une variable aléatoire réelle 1.2.2.1 Intégration Sans rentrer dans les détails, nous allons définir l’intégrale d’une fonction mesurable. Définition 1.41 (Intégrabilité). Soit X une variable aléatoire définie sur (Ω, A, P ). On pose X = X + − X − où X + = sup (X, 0) et X − = sup (−X, 0) . On dit que X est P -intégrable sur B ∈ A si B |X| dP < +∞. Dans ce cas, on définit et écrit l’intégrale de X par rapport à

contredit l’intégrabilité de f 2 donc ce cas est impossible, ce qui prouve que f 2 est intégrable sur R+ . Enfin, f f est intégrable (produit de deux fonctions de carrés intégrables) donc f 2 admet une limite finie en +∞ et cette limite vaut zéro par intégrabilité de f 2 . Correction de l’exercice 4312 On pose un = un ∼ 2 ln n π (n+1)π sint t=nπ t dt = π sint t=0 t+nπ dt. Par encadrement du dénominateur on a un ∼ et, par encadrement encore, l’intégrale arrêtée en x est équivalente à 2 ln x π . Correction

contredit l’intégrabilité 2 donc ce cas est impossible, ce qui prouve que f 2 est intégrable sur R+ . Enfin, f f est intégrable (produit de deux fonctions de de f carrés intégrables) donc f 2 admet une limite finie en +∞ et cette limite vaut zéro par intégrabilité de f 2 . Correction de l’exercice 4312 380 On pose un = (n+1)π sint t=nπ t dt = π sint t=0 t+nπ dt. Par encadrement du dénominateur on a un ∼ 2 ln x π . 2 nπ , d’où u0 + · · · + un ∼ 2 ln n π et, par encadrement