Intégration continue

Exercices 23 octobre 2014 Intégration et primitives Notion d’intégrale Exercice 1 Pour chaque fonction affine définie par morceaux f , représentée ci-dessous, calculer, en utilisant les aires, l’intégrale I de f sur l’intervalle de définition de f . Cf 1.0 3 Cf 0.5 2 −3 −2 −1 O 1 2 3 1 −0.5 −1.0 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Exercice 2 Polynésie juin 2013 On considère la fonction f définie sur R par : f (x) = (x + 2)e−x On note C la courbe représentative de la fonction f dans un

pour U = R Puis!on a: ! @ OM @ OM ^ : @ @' ! ! ! @ OM @ OM ^ (cos2 ' cos ; cos2 ' sin ; cos ' sin ') = cos 'OM : @ @' Donc ! ! ! ! @ OM @ OM ! OM dS = U : ^ d d' = : cos 'OM d d' = R2 cos 'd d' @ @' R Ainsi: dS = R2 cos 'd d' 3) On a alors par intégration S = 4 R2 C’est l’aire de la sphère EXERCICE 10 RR Soit f: M(x,y,z) ! xz 2 : l’intégrale double K 0 = f (M )dS S S: sphère unité 6 On passe en coordonnées sphériques: x = R cos cos ' y = R sin cos ' z = R sin ';pour appartenant à [0; 2 ]; et '

Applications du théorème de conservation de la quantité de mouvement Traînée d’un corps admettant un axe de symétrie (Ecoulement plan ou de révolution) Considérons le cas d’un écoulement de révolution la généralisation au cas plan (c’est-à-dire ne dépendant que de deux dimensions d’espace) étant immédiate. Supposons tout d’abord l’obstacle (C ) fermé (aucun flux ne le traverse), la vitesse en amont de l’obstacle étant constante. L’écoulement est supposé permanent. On veut déterminer la force que

réel donné. Identifier les courbes et les nommer sur l’annexe 1 (à rendre avec la copie). En expliquant la démarche utilisée, déterminer la valeur du nombre réel correspondante ainsi que l’unité graphique sur chacun des axes. A l’aide d’une intégration par parties, calculer. Donner une interprétation graphique de cette intégrale.

(t )  Met , t  0 1-3-Existence de la Transformation de Laplace Soit f(t) une fonction continue par morceau sur l’intervalle fermé [0, a] (pour tout a>0) et ayant un ordre t exponentiel à l’infini tel que f (t )  Me ; alors, la transformation de Laplace L(f) existe et est définie pour s   . 1-4-Unicité de la Transformation de Laplace Soient f(t), et g(t), deux fonctions Supposons que: continues par morceaux avec un ordre exponentiel à l’infini. L f (t )   L( g (t )) Alors f (t)=g(t)

composition d’ applications mesurables est mesurable. 2 Si B = (C), alors f est mesurable si et seulement si 8C 2 C, f 1 (C) 2 A . Dans le cas X et Y sont deux espaces topologiques munis de leurs tribus boréliennes, toute application continue est borélienne. Soient (X; A), (Y1 ; B1 ) et (Y2 ; B2 ) des espaces mesurables. Soient fi : X ! Yi une application, i = 1; 2. Alors l’ application produit f : X ! Y1 Y2 est (A; B1 B2 ) mesurable si et seulement si fi est (A; Bi ) mesurable, i = 1

Fonction carré La fonction carré est la fonction qui à un nombre réel x associe son carré, noté x², soit x multiplié par lui même. Elle introduit les fonctions puissance, c'est une des plus simples d'entre elles. Propriétés [modifier]Signe La première propriété est la positivité de la fonction. En effet quel que soit x réel, y=x\times x on a forcément deux fois le même signe à droite; donc y est supérieur ou égal 0. Et s'annule uniquement en 0. Parité Vient ensuite la parité de la fonction

CCP — TSI — 2006 — 2 1 I) 1) Equations différentielles a) L’équation différentielle est linéaire, du premier ordre à coefficients non constants avec second ∗ membre. On travaille sur R+ , intervalle sur lequel le théorème s’applique, on connait donc l’existence de solutions et leur structure. 1 L’équation homogène associée est : xy − y = 0, ses solutions sont : y = Ke− − x dx = Kx. b) On cherche ici une solution particulière, à moins d’en « deviner » une, on applique la méthode de variation

situation la plus facile à identifier… Exercice 4 A l’aide d’une intégration par partie, calculer J1 = ∫ e 1 x ln(x) dx. © Tous droits réservés Studyrama 2008 Fiche téléchargée sur www.studyrama.com 1 Fiche Exercices Nº : 32005 MATHEMATIQUES Série S Appliquer deux fois la formule d’intégration par parties et obtenir une équation dont l’intégrale est l’inconnue Exercice 5 A l’aide de deux intégrations par parties, calculer J 2 = π 2 ∫ 0 e x sin(x) dx .

est de classe C1 sur [0, 1]. Donc la fonction |f ′ | est continue sur le segment [0, 1] et par suite la fonction |f ′ | est intégrable sur le segment [0, 1]. On en déduit que f existe dans R. 1 • Pour tout f ∈ E, f = |f(0)| + 2 • Soit f ∈ E. 0 |f ′ (t)| dt 0. 1 1 f = 0 ⇒ |f(0)| + 2 0 • Soient f ∈ E et λ ∈ R. ⇒ ∀t ∈ [0, 1], f(t) = f(0) = 0 ⇒ f = 0. 1 ⇒ f(0) = 0 et ∀t ∈ [0, 1], |f ′ (t)| = 0 (fonction continue, positive, d’intégrale nulle) ⇒ f(0) = 0 et f est constante