Intégration continue

Les débuts de l'intégrale définie Tout d’abord, c’est Augustin Louis Cauchy qui a découvert comment trouver l’aire de n’importe qu’elle courbe, soit par des sommes de rectangles. Par la suite, dans les années 1850, Bernhard Reimann a repris les sommes, les a amélioré, et leurs a donné son nom, d’où vient les Sommes de Reimann. Ensuite, Gaston Darboux traduit les travaux de Reimann, et amène des améliorations : les sommes inférieures et les sommes supérieures. Rrésumé de la technique de

TF06_transitoire_Laplace.xmcd TF06 - Transitoire - Exercice Régime transitoire - transformée de Laplace Un solide semi-infini subit sur la face (x=0) une élévation de température proportionnelle au temps (T = k t). La température initiale est 0°C. Déterminer le profil de température par la méthode de la transformée de Laplace. Quelle est la température à 10 cm à l’intérieur après un temps de 2 mn ? On donne : k = 0,5°C/s et α = 0,4 cm²/s. Pour faire ce calcul on rappelle que si on connaît l’original

notamment les maximums et minimums. Le Théorème des valeurs intermédiaire sert à justifier « l’équation f(x) = 0 admet une unique solution dans l’intervalle [a;b] ». Avant d’évoquer le théorème, il faut que 3 conditions soient remplies : la fonction est continue ; la fonction est strictement croissante ou décroissante et l’image demandée appartient bien à l’intervalle image (ex : 0 appartient-il à l’intervalle [f(a) ; f(b)] V. Exponentielle Fonction Dérivée Elle se dérive en elle-même f(x) = f ’(x) =

est dérivable sur et F ′ = f . Les variations de la fonction F sur se déduisent alors du signe de f (x) : Ê Ê 3 2 • F est strictement croissante sur ] − ∞ ; −a] et sur [a ; +∞[ ; • F est strictement décroissante sur [−a ; a]. a 2. f étant continue et négative sur [0 ; a], F (a) = 0 a f (t )d t = − f (t ) d t est l’op0 posé de l’aire, en unités d’aire, du domaine plan compris entre la courbe C , l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 0 et x = a. Ce domaine est contenu dans

Chapitre 6 Chapitre 6. Intégration 15 9 –3= . 2 2 Activités et applications 2. A = Ig – If = 1. Intégrale d'une fonction continue et positive 3. a) h(x) = – x2 + x + 2. On vérifie que les racines de – x2 + x + 2 sont – 1 et 2. Donc, h(x) = – (x + 1)(x – 2). D’après les règles de signe des polynômes du second degré, h(x) у 0 pour tout x ∈ [– 1 ; 2]. 2 2 x3 x2 b) h(x) dx = – + + 2x 3 2 –1 –1 8 4 –1 1 =– + +4– – + –2 3 2 3 2 8 1 3 =– +6– – 3 3 2 16 36 7 27 9 =– + + = = . 6 6 6 6 2 Activité. Aire

y 8 Intégrales Intégrales et calculs d’aires -1 Alors : 4 3 A 2 1 A = ⌠ b f(x) dx u.a. ⌡a x 0 1) LES RESULTATS b Intégrale de a à b de la fonction f = ⌡ b f(x) dx = [ F(x) ] a = ⌠a F(b) – F(a) où F est une primitive quelconque de f sur [ a ; b ] ; 0 1 2 3 4 5 6 7 (si le repère a comme unité 2 cm sur (Ox) et 3 cm sur (Oy) alors 1 u.a. = 6 cm².) 2) LES METHODES 1 1 ) dx et ⌡ 4 ( x – )dx ⌠1 x² x …………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

déduire le tableau de variations de la fonction f sur ]0 ; +∞[. I= f (x) dx. α 1. Justifier que l’intégrale I est l’aire d’une partie du plan que l’on hachurera sur le graphique donné en annexe (à rendre avec la copie). 2. À l’aide d’une intégration par parties, calculer l’intégrale 4 J= 3. Montrer l’égalité : I = x ln x dx. α α2 α + + 16ln 2 − 8. 4 2 En déduire une valeur approchée de I à 10−1 près. 5 points E XERCICE 2 Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

QUELQUES RAPPELS JUSTE AVANT L'ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Pour Dimitri 1. Calcul intégral facilité par les nombres complexes Par exemple, calculer une intégrale de forme a cosn xdx ou a sinn xdx avec n pair. Nous verrons dans un moment que le cas où n est impair est plus facile et direct. Exemple π I = 02 sin4 xdx. 2 méthodes : (1) la première, en utilisant les formules de trigonométrie de 1ère : dicile et long (on linéarise deux fois). D'abord, on utilise la formule sin2 a = 1−cos(2a) , ce qui

Cursus : Licence Mathématiques (L3) Contrôle Continu n°1 Groupe  : F2 1 . INTRODUCTION Dans ce projet on cherche à calculer les valeurs approchées de l’intégrale sur un intervalle [a, b] d’une fonction g qui est suffisamment régulière sur cet intervalle, par différentes méthodes. Ici : - g(x) = 1/x sur R* donc sur l’intervalle [1, 2] - g(x) = sinx+xcosx est continue sur R donc sur [0, 3π] - g(x) = | x | σ est continue sur R donc sur [-1, 2] = [-1, 0] U [0, 2] (avec

définie sur ℝ par φ(x) = b Montrer que ∀(a, b) ∈ ℝ , on a : ∫a e−t² dt = √π 2 2 x ∫ e−t² dt √π 0 (φ(b) − φ(0). 2 Montrer que f(x) = ex ,est solution de l’équation différentielle y ′ = 2xy + 2 √π Exercice 5 : Soient ? et ? deux fonction continues sur [?, ?] ⊂ ℝ est dérivable sur ]?, ?[ . 1) Montrer qu’il existe ? ∈ ]?, ?[ tel que ? ′ (?)(?(?) − ?(?)) = ?′ (?)(?(?) − ?(?)) Aide : Considérer ℎ(?) = ?(?)(?(?) − ?(?)) − ?(?)(?(?) − ?(?)) et montrer qu’il existe ? ∈ ]?, ?[ tel que h′ (c) = 0