Intégration continue

) ∈ ℝ 2 . Alors la fonction α F + β G est une primitive de α f + β g sur l'intervalle I . Théorème : Soit f : I → ℝ ,une fonction continue sur I . Alors f admet des primitives sur I . II – Intégrale d’une fonction continue sur un intervalle fermé : II – 1 - Définition de l’intégrale : Définition : Soit f : [ a, b ] → ℝ , a ≤ b ,une fonction continue sur l’intervalle [ a, b] et F une primitive de f sur [ a, b] . Le nombre réel b ∫a F (b) − F (a ) est appelé l'intégrale de f sur

1 Problème. On dira qu'une fonction dénie de R vers C est continue par morceaux, si elle est continue sur tout segment [a, b] de R sauf peut être en un nombre ni de points de [a, b], où elle admet des limites nies à droite et à gauche. On admet que la somme (respectivement le produit) de deux fonctions continues par morceaux, est continue par morceaux. Dans tout ce problème B désigne l'ensemble des fonctions bornées continues par morceaux de R vers C. Pour tout x ∈ B, on note ||x||∞ = sup

e−1 − 1 = −e−1 − 1. On a donc le tableau de variations de la fonction f sur ]0 ; +∞[ suivant : x f (x) −1 f (x) −e−1 − 1 3. Sur 0 ; e−1 , f (x) −1 < 0. l’équation n’a pas de solution sur cet intervalle. Sur l’intervalle e−1 ; +∞ , la fonction f est continue car dérivable et strictement monotone croissante : il y a donc une bijection de e−1 ; +∞ sur −e−1 − 1 ; +∞ . Conclusion : il existe un réel unique α de l’intervalle e−1 ; +∞ tel que f (α) = 0. La calculatrice donne successivement : 1, 7 < α < 1,

2 0 2 e  b) Vrai :    1 4 1 sin 2tdt    cos2t    2 0 2 sin t  1 3 dt    2 1  1. 2 cos t  cos t  0   c) Vrai :  e 1 ln tdt   t ln t  t  1  1 .  3 0 d) Vrai : 1 0 e) Vrai : Intégration par parties, 1. 6. QCM 2  tetdt   (t  1)et   1 .   0 1 Fesic 2002, exercice 5. Répondre simplement par Vrai ou Faux à chaque question. On rappelle que 2 < e < 3. Soit f la fonction définie sur  par f ( x)  ( x  1)e2x . a

Chapitre 1 Intégrale sur [a, b] de R (a 0 sur [a, b] ; alors il existe c ∈ [a, b] tel que : b b f (t)g(t)dt = g(c) a a f (t)dt Démonstration : puisque g est continue sur [a, b] alors il existe m et M dans R tel que g([a, b]) = [m, M ] avec m = min{g(x)/x ∈ [a, b]} et M = max{g(x)/x ∈ [a, b]}. Donc pour pour tout x ∈ [a, b] on a m ≤ g(x) ≤ M et par suite on a : b b b m a f (t)dt ≤ a f (t)g(t)dt ≤ M b f (t)dt. a f (t)g(t)dt Et par conséquence a b ∈ [m, M

sép—r—nt l9intégr—tion de son ™omp—nion di'érenti—tion en ex—min—nt les sommes et le pro™édé de l— limite pour déterminer une surf—™e donnéeF sl — étendu son idée en ™onsidér—nt toutes les fon™tions sur un interv—lle sur lesquelles le pro™essus d9"intégration" peut être —ppliquéF gette portéeD d—ns ™e nouve—u point de vue de ‚iem—nn v— ouvrir les portes pour l9invention d9—utres méthodes d9intégr—tion ™omme ™elle de ve˜esgueF hur—nt l— (n des —nnées IWSHD une des extension de l9intégr—le de ‚eim—nn —

euclidien orienté de dimension 3 45 Formes quadratiques 46 Transformations orthogonales 47 Endomorphismes auto-adjoints 48 Problèmes matriciels 49 Espaces vectoriels hermitiens VI Fonctions d’une variable 131 131 134 136 139 50 Fonctions continues 51 Fonctions monotones 52 Fonctions usuelles 53 Fonctions circulaires inverses VII Calcul différentiel 141 141 146 149 151 152 154 155 156 157 163 54 Dérivation 55 Fonctions convexes 56 Formules de Taylor 57 Calculs de développements

réelles ont été définies sur un segment pour des fonctions continues par morceaux. Il est possible de généraliser cette construction à un certain type de fonctions bornées, définies sur des segments (on parle d’intégrale de Riemann ou d’intégrabilité au snes de Riemann) dont les fonction monotones font parties. Dans ce cours, nous nous intéresserons à des fonctions définies sur un intervalle I qui ne sera pas un segment mais qui seront continues par morceaux sur tout segment inclus dans cet intervalle

dérivable sur I telle que F ′ = f. Expression d’une primitive à l’aide d’une intégrale Théorème fondamental • Si f est continue sur l’intervalle I, alors f admet des primitives sur I. • Si F est une primitive de la fonction f sur l’intervalle I, les primitives de f sur I sont les fonctions de la forme x → F(x) + C où C est une constante réelle. x • Si f est continue sur l’intervalle I alors, pour tout réel a de I, la fonction x → fonction f sur l’intervalle I. Ainsi, pour tout réel x de I

424 Concours commun Agro INA ENSA Ière composition option générale 1/2 M ATHÉMATIQUES Durée : 3 heures PREM&RE COMPOSITION (Option générale) Concours commun INA-ENS! Le problème a pour objet I'étude de I'tquation différentielle (€1 xy' + y = - . 2 1 +x 1 Dans la partie 1, on étudie et on construit dans un repère orthonormé d'axes Or, Oy les courbes intCgrales de (El. Dans la partie II, on étudie une primitive de l'une des solutions de (€1. PARTIE 1 t t u d e des courbes