Intégration économique

primitives. 107 4.1 Techniques générales Autant il n’existe pas de méthode systématique, il existe un certain nombre de techniques générales qui permettent de ramener des calculs de primitives compliquées à des primitives plus simples. 4.1.1 Intégration par parties Elle repose sur la formule (f g)0 = f 0 g + gf 0 . Ainsi Z Z f 0 gdt = f g f g 0 dt + C Exercice de cours 69. En utilisant la formule d’intégration par parties ci-dessus, calculer : • une primitive de xex • une primitive de ln x (on

TF06_transitoire_Laplace.xmcd TF06 - Transitoire - Exercice Régime transitoire - transformée de Laplace Un solide semi-infini subit sur la face (x=0) une élévation de température proportionnelle au temps (T = k t). La température initiale est 0°C. Déterminer le profil de température par la méthode de la transformée de Laplace. Quelle est la température à 10 cm à l’intérieur après un temps de 2 mn ? On donne : k = 0,5°C/s et α = 0,4 cm²/s. Pour faire ce calcul on rappelle que si on connaît l’original

Récapitulatif en maths I. Probabilité La somme de toutes les probabilités est égale 1. Union (OU) : Intervalle (ET) : Probabilité totale c’est-à-dire quand la probabilité de E se trouve dans plusieurs branches de l’arbre alors : Probabilité conditionnelle (sachant) : II. Suites 1. Suites arithmétique : r est la raison, c’est-à-dire qu’on ajoute ou toujours ce même nombre. C’est une variable fixe contrairement à Un qui varie.  Sinon, cette formule sert à calculer chaque terme (U1, U2

La Réunion, série S, 21 juin 2011 Exercice 1 - commun - 4 points 1. Le plan P et la droite D n’ont aucun point commun. 2. Les plans P et P ′ sont sécants suivant une droite de vecteur directeur −i + j + k. 3. L’ensemble des points M de l’espace qui sont équidistants des points A et B est le plan d’équation −4x + 2y + 5z − 52 = 0. −−→ −−→ 4. L’ensemble des points M de l’espace tels que M A − 3MB = 5 est une sphère dont le centre a pour coordonnées (−5; 5; 72). ➠ Pour voir les justifications (cliquer

y 8 Intégrales Intégrales et calculs d’aires -1 Alors : 4 3 A 2 1 A = ⌠ b f(x) dx u.a. ⌡a x 0 1) LES RESULTATS b Intégrale de a à b de la fonction f = ⌡ b f(x) dx = [ F(x) ] a = ⌠a F(b) – F(a) où F est une primitive quelconque de f sur [ a ; b ] ; 0 1 2 3 4 5 6 7 (si le repère a comme unité 2 cm sur (Ox) et 3 cm sur (Oy) alors 1 u.a. = 6 cm².) 2) LES METHODES 1 1 ) dx et ⌡ 4 ( x – )dx ⌠1 x² x …………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

raisonnement. Conclusion ℓ = 0. Exercice. En s’inspirant de cette démonstration, montrer que lim f (x) = 0. ∞ x→−∞ ∞ f (x)dx. D’où contraction car f ∈ K . ix 1 2) i(P f )(x) = ix f (x) = √ f (x)e−iαx dx = √ ix f (x)e−iαx dx. 2π −∞ 2π −∞ Une intégration par parties avec u = f et dv = ixe−itx dt, on obtient : ∞ ∞ ∞ 1 1 −itx ′ −itx i(P f )(x) = √ −e f (t) −∞ + f (t)e dt = √ f ′ (t)e−itx dt = (D f )(x). 2π 2π −∞ −∞ 4.5 Quelques propriétés de la transformation de F ourier Adoptons la notation f

déduire le tableau de variations de la fonction f sur ]0 ; +∞[. I= f (x) dx. α 1. Justifier que l’intégrale I est l’aire d’une partie du plan que l’on hachurera sur le graphique donné en annexe (à rendre avec la copie). 2. À l’aide d’une intégration par parties, calculer l’intégrale 4 J= 3. Montrer l’égalité : I = x ln x dx. α α2 α + + 16ln 2 − 8. 4 2 En déduire une valeur approchée de I à 10−1 près. 5 points E XERCICE 2 Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

QUELQUES RAPPELS JUSTE AVANT L'ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Pour Dimitri 1. Calcul intégral facilité par les nombres complexes Par exemple, calculer une intégrale de forme a cosn xdx ou a sinn xdx avec n pair. Nous verrons dans un moment que le cas où n est impair est plus facile et direct. Exemple π I = 02 sin4 xdx. 2 méthodes : (1) la première, en utilisant les formules de trigonométrie de 1ère : dicile et long (on linéarise deux fois). D'abord, on utilise la formule sin2 a = 1−cos(2a) , ce qui

Université Blaise Pascal UFR Sciences et Technologies Licence Sciences et Technologies Méthodes Numériques 2007/2008 Cursus : Licence Mathématiques (L3) Contrôle Continu n°1 Groupe  : F2 1 . INTRODUCTION Dans ce projet on cherche à calculer les valeurs approchées de l’intégrale sur un intervalle [a, b] d’une fonction g qui est suffisamment régulière sur cet intervalle, par différentes méthodes. Ici : - g(x) = 1/x sur R* donc sur l’intervalle [1, 2] - g(x) = sinx+xcosx

car 4x − 8 reste strictement positif sur 4 ]2 ; +∞[. • Si f (x) = e−x = − −e−x alors une primitive de f est définie par F (x) = −e−x . 1 1 • Si f (x) = e4x+5 = 4e4x+5 alors une primitive de f est définie par F (x) = e4x+5 . 4 4 5. Intégration Soit f une fonction continue sur un intervalle I : b • Pour tous a et b de I, a b f (x) dx = [F (x)]a = F (b) − F (a) où F est une primitive de f sur I. x • Pour tout a de I, la fonction F définie par F (x) = x = a. e Exemple