La Conjecture

Soit u la suite définie par u 0 =2 et u n1=2 u n−3 a_ Calculer u 1 −u0 , u2 −u 1 , u 3 −u 2 , u4 −u 3 , u 5 −u 4 . b_ Conjecturer une écriture de u n en fonction de n ( une piste, suite géométrique). c_ Démontrer cette conjecture. a_ u 1 −u0 =−1, u 2 −u1 =−2, u3 −u 2 =−4, u 4 −u3 =−8, u 5 −u4 =−16 On remarque que la suite obtenue est géométrique de raison q=2 b_ Pour conjecturer une expression des premiers termes on se sert de la relation trouvée en a u 1 =−1 u 0 =−20 2, u2 =−21 u1 =−21 −20 2

représentant f et 1. Faire afficher sur l’écran de la calculatrice l’hyperbole et la droite . a) Conjecturer à l’aide de ce que vous voyez, les coordonnées des points d’intersection de b) Conjecturer également la position relative de par rapport à . , f ( x)  g ( x)  et . 2 x 2  3 x  2 . x 1 2. a) Montrer que, pour tout x de 3. b) Démontrer alors les conjectures du 1.a) et 1.b) a) Déterminer une équation de la tangente T à au point d’abscisse 2. b) Vérifier à

d’inconnue x réelle : ex = 3 x 2 + x 3 . Partie A : Conjecture graphique 6 points Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative de la fonction exponentielle et celle de la fonction f définie sur R par f (x) = 3 x 2 + x 3 telles que les affiche une calculatrice dans un même repère orthogonal. 5 4 3 2 1 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1 −2 −3 −4 −5 −6 1 2 3 4 5 6 À l’aide du graphique ci-dessus, conjecturer le nombre de solutions de l’équation (E) et leur

valeur − 9 − 18 + 7 Si ………. Alors afficher : "le point de coordonnées Sinon afficher : "le point de coordonnées Fin ; ; appartient à " n’appartient pas à " Partie B Conjectures à l’aide de la calculatrice 1. Représenter sur l'écran de la calculatrice la fonction –3£ £ 3 et – 130 £ en choisissant comme fenêtre £ 20. Conjecturer alors le tableau de variation de la fonction 2. La courbe représentative de sur −3 ; 3 . semble couper l’axe des abscisses en un point d’abscisse positive, abscisse

la suite dont le terme général vaut la longueur du n-ième bâton. Déterminer u1, u2 . 0,25 m 2) On souhaite calculer la longueur totale de la grecque si l'on continue l'opération n fois. Écrire la formule donnant la longueur en fonction de n. 3) Conjecturer si la corde aura une longueur suffisante pour réitérer l'opération indéfiniment. 0,125 m → ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ← II) Limite

2 3 U 0 2 6 12 20 et ensuite V = U – 4 = 16 ( = 4 2 ) b) Pour N = n, exprimer les valeurs affichées de U et V à l'aide de un. L'algorithme calcule u n , donc U = u n et V = u n−n c) Emettre une conjecture sur l'expression de V en fonction de n, puis sur l'expression de un en fonction de n. Conjectures : V = n 2 (voir ci-dessus) et donc u n=n2 + n . Lycée Marie Reynoard Accompagnement personnalisé TS 3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, un = n² + n. initialisation pour

utilisée pour calculer les premiers termes de la suite (Tn)nϵ 3°) Quelle formule à recopier vers le bas doit-on entrer dans la cellule B3 ? 4°) On pose Un = − Tn + 30 a) Quelle conjecture peut on faire sur la nature de la suite (Un)nϵℕ d’après la colonne C. b) Démontrez cette conjecture. c) En déduire Un en fonction de n. 5°) Déduire que Tn = − 6 × 0,8 n + 30. A B C 1 n Tn Un=− Tn+30 2 0 24 6 3 1

du point D pour que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme. 3. Construire le point E image de B par la translation de vecteur ⃗ AC (les traits de construction doivent apparaître sur l'annexe). 4. Émettre une conjecture sur la nature du quadrilatère ACEB. 5. Démontrer cette conjecture. EXERCICE 3 : ( 5 points) Dans un petit village du Gard, où la taxe d'habitation est proportionnelle à la surface d'habitation, la répartition des habitations selon leur superficie est la suivante : Superficie

théorie page 153 EXERC : p154 #3 ; p155 #6 ; p158 #16-17 2) capsule “AIRES” théorie page 160-161 EXERC : p162 #3 ; p163 #5-6-7 ; p164 #12a) ; p170 #7b) ; p175 #21 3) NUMÉROS à REMETTRE a) p.165 #13 b) chaudron-chap4 ATELIER de “CONJECTURE” 1) capsule “conjecture” ET cours en classe EXERC : p179 #27 2) numéro à remettre p355 #9 CHAPITRE 5 - CONSIGNES 1) capsule … il y en a TROIS !! “monômes” “polynômes1” “polynômes2” théorie page 184-187-194-201 EXERC : p187 #1 ; p188 #2 ; p189 #3

O 1. D’après le graphique, quelles semblent être les variations de la fonction f et sa limite en +∞ ? 2. Valider ces conjectures à l’aide d’une démonstration. 3. Tracer sur la figure jointe (à rendre avec la copie) la courbe Cg représentative de la fonction g. 4. Quelle semble être la position relative de la courbe Cf par rapport à la courbe Cg ? Valider cette conjecture à l’aide d’une démonstration. Partie B L’objectif de cette partie est de calculer, en unités d’aire, la mesure de l’aire A