La Conjecture

tout n 1. b) Si q > 1, alors il existe a > 0 tel que q = 1 + a, donc qn 1 + na. Comme lim na = + ∞ , lim q = + ∞ . n→+∞ n→+∞ n 39 G Conjecturer puis démontrer 43 Pour apprendre à chercher Les outils : G Raisonnement par récurrence. Les objectifs : G Savoir conjecturer une propriété après le calcul des premiers termes. G Savoir prouver la conjecture. 1. u0 = 7 ; u1 = 52 ; u2 = 502 ; u3 = 5 0002 ; u4 = 50 002 ; u5 = 500 002 . 2. Lorsque n prend les valeurs 1, 2, 3, …, il y a 0, 1, 2, …, zéros

verrons au cours de l’analyse. Ainsi, cet extrait du Quod nihil scitur[2] traite du scepticisme à travers le thème de la connaissance. 2/ Analyse, introduction de l’hypothèse (l.1-4) « "Je ne sais même pas seulement que je ne sais rien. Je conjecture pourtant que ni moi ni les autres nous ne savons rien. " Que me serve d’étendard cette affirmation qui justement entraîne comme conséquence nécessaire qu’il n’y a science de rien. » Par cette remarque, Sanchez pose son hypothèse : il suppose

3. 2 1 g(x) 0 pour x – ou x > 3. 2 b) x –∞ – 1 3 +∞ 2 – + signe de (2x + 1) 0 + signe de (x – 3) (x signe de 2x + 1 x–3 – + 0 – – 0 + + 0 quand La double barre signi e que g(x) n’est pas dé nie pour x = 3. Le résultat est cohérent avec la conjecture émise en b). 3. Exercices de base a) Vrai b) Faux c) Faux d) Vrai a) Vrai b) Faux c) Vrai d) Vrai f(x) 0 quand est au-dessus de l’axe des abscisses, 2 c’est-à-dire pour – x 4. 3 2 f(x) 0 pour x – ou x 4. 3 c) x –∞ a) 7x + 4 < – 2x + 1 équivaut

SUITES NUMERIQUES I Raisonnement par récurrence Exemple introductif : (Un) défini pour tout n  IN par :  Un+1 = 2 Un + 1   U0 = 0  Formule Un en fonction de n ?  Calcul des premiers termes (1, 3, 7, 15, 31…) n  Conjecture : Pour tout n  IN, Un = 2 – 1  Démonstration ? n  Soit P la propriété définie pour n  IN par : Pn : Un = 2 – 1 Supposons cette propriété vrai pour un certain entier n . n n+1 On a alors Un+1 = 2 Un + 1 = 2(2 – 1) + 1 = 2 – 1 càd Pn + 1. P est héréditaire et comme

algorithme récursif. Un lien pour des simulations : www.univ-rouen.fr/LMRS/Vulgarisation/Hanoi/hanoi.html Exemple 2 Les entiers impairs sont les entiers de la forme 2n+ 1 (le premier obtenu pour n=0, est 1). Calculons les premières sommes. Quelle conjecture pouvons-nous faire ? On va donc montrer par récurrence que la somme des n premiers entiers impairs est égale au carré de n : 1 + 3 + . . . + (2n− 1) = n2. Remarquons que cette somme peut s’écrire avec le symbole Σ. En effet 1+3+. . .+(2n−1)

mathématiques : cf CL correspondant / démonstration/ présent de vérité générale / déterminant à valeur généralisante/ phrase complexe, déclarative et affirmatives.· organisation : intro/ démonstration/ programme à venir / hypothèse/ début de la conjecture· marques des destinataires : pronom de second rang et injonctions (=ordre, impératif) à la deuxième personne du pluriel / discours ininterrompu par les apprenants. · Solitaire et déterminée : tirade=&gt; Elle est celle qui a le rôle d’enseignant

dynamique, ouvre la figure sequence3exercice1 à l’aide de geogebra. Déplace le point M. Que remarques-tu ? 4a) Ouvre la figure sequence3exercice1 à l’aide de geogebra et trace les droites (AM) et (BN). Déplace le point M. Que remarques-tu ? Emets une conjecture concernant la position relative des droites (AM) et (BN) puis démontre-la. b) La situation est-elle une situation de Thalès ? Pourquoi ? c) Construis : le symétrique A’ du point A par rapport à C, le symétrique M’ du point M par rapport à C. ●

suite (un ) définie pour tout entier naturel n par un +1 = 6 − 0 , 5un et u 0 = 1. 1. À l’aide de la calculatrice ou d’un tableur : a) établir un tableau de valeurs de la suite (un ) ; b) proposer une représentation graphique de (un ) ; c) conjecturer les variations de (un ) , ainsi que son comportement pour de grandes valeurs de n. 2. Soit (v n ) la suite définie sur » par v n = un − 4. a) Démontrer que la suite (v n ) est géométrique. En préciser le terme initial et la raison. b) Exprimer

Représentation graphique d’une suite définie par récurrence Exemple 1 : . est une fonction affine. Sa représentation graphique est la droite d’équation . ; ; f définie par 2 ; ; ; ; On peut conjecturer que (en effet tous les termes de 2). Exemple 2 : ; 0,8 . se rapprochent On peut conjecturer que : est décroissante ; III. Sens de variation d’une suite 1. Suites monotones Définitions    Une suite Une suite Une suite est croissante si, pour tout entier naturel n, on a u n1 

2nde Eléments de correction du DNS 8 du 11 Décembre 2014 Objectifs : Savoir résoudre un problème économique Emettre puis démontrer des conjectures Calculer les paramètres d’une série statistique Exercice 1 : Une entreprise fabrique et vend un produit. On note f(x) le coût de production (exprimé en milliers d’euros) de x tonnes de ce produit. f(x) = x3 – 12x² + 50x Pour 0 ≤ x ≤ 11, des études ont montré que : 1. a) Donner le tableau de valeurs de la fonction f , obtenu à l’aide d’une calculatrice