La Conjecture

circonstance Anglais conjuncture Sens 2 Ensemble des éléments qui déterminent l'état global d'une économie à un certain moment [Economie]. Synonyme circonstance Anglais situation, circumstances Conjecture, nom féminin Sens Opinion fondée sur des suppositions, des probabilités. Synonyme hypothèse Anglais conjecture décade, nom féminin Sens 1 Période de dix jours. Sens 2 Dans le calendrier républicain, période qui remplaçait la semaine et qui comptait dix jours [Histoire]. Sens 3 Durée de dix ans

graphique de la fonction f. En laissant apparent les traits de construction, construire en abscisse les quatre premiers termes de la suite (un ). Devoir 1 – MA02-12 309 2 1 j 0 0 i 1 2 3 4 5 6 7 b) Que peut-on conjecturer quant au sens de variations et à l’éventuelle convergence de la suite (un ) ? 3 a) Démontrer que, pour tout n ≥ 0, on a 0 ≤ u n +1 ≤ un ≤ 6. b) Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite (un ) ? u −1 4 Soit (v ) la suite définie

2 b) x –∞ – 1 3 +∞ 2 – + signe de (2x + 1) 0 + signe de (x (x – 3) – 2x + 1 x–3 + signe de – 0 0 – + + La double barre signifie que g(x) n’est pas définie pour x = 3. Le résultat est cohérent avec la conjecture émise en b). 3. Exercices de base a) Vrai b) Faux c) Faux d) Vrai a) Vrai b) Faux c) Vrai d) Vrai f(x) у 0 quand Ꮿ est au-dessus de l’axe des abscisses, 2 c’est-à-dire pour – р x р 4. 3 2 f(x) р 0 pour x р – ou x у 4. 3 c) x –∞

différence N−p1 p2⋯ pn=1, ce qui est absurde. Remarque 7   Voici quelques résultats et conjectures : 1. Il existe des intervalles aussi grand qu’on veut sans nombre premiers (exercice). 2. Pour tout entier n≥ 2, il existe un nombre premier p tel que n<p<2n (théorème de Tchebychev, en devoir). 3. On conjecture qu’il existe une infinité de couples (p,q) de nombres premiers avec q=p+2 (conjecture des nombres premiers jumeaux). 4. Si on note π(x) le nombre de nombres premiers

3< 2 ⎧ − 5 < −2 ⎨ ⎨ ⎨ ⎩4 < 12 ⎩ − 7 < −1 ⎩ − 3 < −1 Qu’obtient-on si on les ajoute membre à membre ? 7 < 17 −10 < 1 −8 < − 3 L’ordre n’est pas modifié Qu’obtient-on si on les retranche membre à membre ? −1 > −7 4>3 −2 < −1 On ne peut pas conjecturer On peut ajouter membre à membre des inégalités de même sens mais on ne peut pas les retrancher. Y - Ordre et multiplication a) On considère les inégalités suivantes : 5<8 − 3< 2 − 7 < −4 Que devient chacune si on multiplie chacun de ses membres

des sentiments, des croyances* ou des jugements de valeur subjectifs. Pour Spinoza*, par exemple, elle est forcément "sujette à l'erreur et n'a jamais lieu à l'égard de quelque chose dont nous sommes certains mais à l'égard de ce que l'on dit conjecturer ou supposer" (_Court traité_, chap. II). Depuis Platon*, et jusque chez de nombreux penseurs contemporains, l'opinion est dénoncée comme a priori douteuse, illusoire ou fausse, voire dangereuse, lorsqu'elle cherche à s'imposer en dissimulant la

à : 45, 77, 117, 165, 221, 285, 357, 437, 525, 621. À partir de ces données conjecturer la nature de la suite (dn )n∈N définie par dn = un+1 − un . 2 On considère la suite arithmétique (vn )n∈N de raison 8 et de premier terme v0 = 16. Justifier que la somme des n premiers termes de cette suite est égale à 4n2 + 12n. 3 Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n on a : un = 4n2 + 12n + 5 . 4 Valider la conjecture émise à la question 1. b.. et, pour tout entier n 1, un = 1+ 2 n un−1 + 6 n

: Sn = 1 + 2 + 3 + ... + n Soit Cn la somme des cubes des nombres entiers de 1 à n : Cn = 13 + 23 + 33 + ... + n3 1°) Calculer Sn et Cn lorsque n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5. Que pouvez-vous conjecturer ? 2°) Créer un algorithme permettant de calculer les sommes Sn et Cn pour un entier donné, et de vérifier la conjecture. 2 2 3°) Démontrer par récurrence que pour tout n ³ 1 : Cn = n (n + 1) 4 Conclure. http://xmaths.free.fr TS − Récurrence page 2 / 2 

génératrices ϕ(n) La fonction ζ Produit Eulerien Dès 1737, Euler avait utilisé ζ comme fonction de la variable réelle s pour étudier la suite pn . L’équivalent π(x) ∼ x/ log(x), le nombre de pn plus petits que l’entier x, avait été conjecturé par Gauss et Legendre à la fin du XVIIIème siécle. Il a fallut cependant attendre le milieu du XIXème siècle pour que Tschebyschef établisse par des moyens arithmétiques élémentaires qu’il existe deux constantes A et B, 0 < A < 1 < B telles

gauche et la droite, la théorie de l'électeur rationnel se trouve justifiée. C'est ce que prouve une proportion importante de personnes, dotées d'un niveau d'études élevés et d'un intérêt politique supérieur à la moyenne, mobiles selon l'offre et la conjecture électorale. A l'incompatibilité apparente du modèle déterministe et de celui de l'électeur rationnel se substitue en réalité une certaine complémentarité. Si le première paradigme justifie la dichotomie entre l'électorat de gauche et celui de