Libération Conditionnelle

: 2.3. Probabilités conditionnelles Quelquefois, la réalisation d’un évènement B est conditionnée par celle d’un autre évènement A. Pour que B soir réalisé, il faut que A le soit d’abord. Chercher la probabilité de B, c’est chercher une probabilité sachant que A est réalisé. On suppose que : La probabilité de B sachant que A est réalisé se note ou ⁄ est telle que : ⁄ Il en découle : ⁄ On montre que c’est aussi : ⁄ Cette définition de la probabilité conditionnelle permet de définir deux

CONDITIONNEMENT Dans tout le chapitre, E désigne l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire et P désigne une loi de probabilité sur E. I. Probabilité conditionnelle Définition : Soit A et B deux événements avec [pic]. On appelle probabilité conditionnelle de B sachant A, la probabilité que l'événement B se réalise sachant que l'événement A est réalisé. Elle est notée [pic] et est définie par : [pic] Exemples : 1) On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. Soit

pas eu d’intervention durant le n-ième mois qui suit l’installation d’un photocopieur, la probabilité d’intervention le mois suivant est égale à 0,64. On rappelle que A est l’évènement contraire de l’évènement A et que pB(A) est la probabilité conditionnelle de A sachant que B est réalisé. PARTIE 1 On pourra, si on le souhaite, s’aider d’un arbre pondéré. 1. Préciser pIn ( In+1 ) et pIn ( In+1 ) puis calculer p ( In+1 ∩ In ) et p ( In+1 ∩ In ) en fonction de pn (n ∈ 2. En déduire pn+1 = −0, 6

0125+ 0,00046875 =0,05796875 Arrondie à 10-4 près la probabilité que le camion choisi ait une panne est égale à 0,058. Calculer la probabilité que le camion soit neuf sachant qu'il n'a pas de panne. Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle pD¯N=pN∩D¯pD¯ Calculons pN∩D¯ à l'aide de l'arbre pondéré précédent : pN∩D¯=pND¯×pN Or pND¯=1-pND D'où pN∩D¯=1-pND×pN =1-0,0025×316=0,18703125 D'autre part, pD¯=1-pD=1-0,058=0,942 Par conséquent, pD¯N=pN∩D¯pD¯=0,187031250,942

fonction définie sur l’intervalle I = ]0 ; +∞[ par : f ( x) = Exercice 4 : (5 points) Commun à tous les candidats ANNEXE A L’EXERCICE 2 A RENDRE AVEC LA COPIE 80 MATHEMATIQUES - SERIE ES Eléments de formulaire Probabilités Probabilité conditionnelle de B sachant A PA(B) est définie par P(A∩B) = PA(B) × P(A) Cas où A et B sont indépendants : P(A∩B) = P(A) × P(B) Formule des probabilités totales Si les événements B1, B2, …, Bn forment une partition de Ω alors P(A) = P(A∩B1) + P(A∩B2) + … +

II Probabilités conditionnelles Introduction : Soit un bocal contenant 3 boules jaunes, 2 boules rouges, 1 boule bleue. On en tire une, puis une autre, sans remettre la première dans le bocal. Soit A : ”La première boule tirée est jaune” Soit B : ”La deuxième boule tirée est jaune”. Sur 6 boules, il y a 3 boules jaunes, donc p(A) = 63 = 0.5. Si je ne sais rien du premier tirage, p(B) = également : chacune des 6 boules a autant de chance d’être tirée au deuxième tour. 3 6 = 0.5 Si maintenant

Conditionnement Les probabilités conditionnelles prennent en compte les informations concernant l'issue d'une expérience qui modifient la probabilité des événements liés à cette expérience. On parle de probabilités conditionnelles lorsque deux événements d'une expérience aléatoire se réalisent l'un après l'autre, on regarde alors l'influence du premier sur le second. 1. Comment calculer une probabilité conditionnelle ? Lecture d'un arbre On considère une expérience aléatoire et deux événements A

incompatibles ? indépendants ? 4. Fanny apprend que Mathieu fait partie du jury. Quelle est la probabilité qu’elle en fasse partie aussi ? 3 Conditionnement et indépendance 3.1 Probabilités conditionnelles Definition 3.1 Soient A et B deux évènements, avec P (A) = 0. On appelle probabilité conditionnelle de B sachant A le nombre : PA (B) = P (A ∩ B) . P (A) Remarque 3.1 PA (B) se note aussi P (B|A). Theoreme 3.1 Soient A et B deux évènements, avec P (A) = 0. Alors : P (A ∩ B) = PA (B) ×

probabilités : Pourquoi faire ? Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . Exemple: lancer deux dés . . . . . . Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . Modèle probabiliste . . . . . . . . . . Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . Probabilité conditionnelle . . . . . . Un nouvel Univers . . . . . . . . . . . Exemple: fausse alarme . . . . . . . Théorème de probabilité totale . . Théorème de Bayes . . . . . . . . . . Inférence bayésienne . . . . . . . . . Indépendance . . . . . . . . . . . . . . Quelques

III Probabilités conditionnelles III.1 Définition . . . . . . . . . . . . . III.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . III.3 Exemple de calcul de probabilités III.4 Evénements indépendants . . . . . . . . 5 5 5 6 8 . . . . 9 9 10 10 12 IV Dénombrement IV.1 Utilisation de tableaux IV.2 Utilisation d’arbres . . IV.3 Permutations . . . . . IV.4 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . conditionnelles par . . . . . .