Libération Conditionnelle

LEÇON N˚ 5 : Probabilité conditionnelle, indépendance de deux événements (on se limitera au cas où l’ensemble d’épreuves des fini). Applications à des calculs de probabilité. Pré-requis : – Opérations sur les ensembles, cardinaux ; – Espaces probabilisés ; – Calcul de probabilités. On se place dans un espace probabilisé (Ω, P(Ω), P). Introduction : On se donne le tableau suivant représentant la proportion de garçons (G) et de filles (F) étudiant l’anglais (A) ou l’espagnol (E) en 1re langue. G F A

Pour tout évènement ? on a : ?(?) =  = ? ? ????(?) ????(?) ? ????(?) ?????? ?? ??? ?????????? = ?????? ?? ??? ????????? Définition : "Probabilité conditionnelle" Soit (Ω, ?(Ω), ?) un espace probabilisé fini. ? et ? sont deux évènements tels que ?(?) ≠ 0. On appelle probabilité conditionnelle de ? sachant ?, le réel : ?(? ∕ ?) = On la note aussi ? ? (?) et on lit :"Probabilité de ? sachant ?" ?(?∩?) ?(?)  Deux évènements ? et ? sont dits équiprobables si

Difficultés rencontrées lors de la résolution de problèmes de probabilité conditionnelle à l’aide d’arbres ou de tableaux Voici quatre exemples d’énoncés qui sont des extraits d’exercices bac en série ES, il s’agit de prévoir pour chacun les difficultés que vont rencontrer les élèves pour construire l’arbre de probabilité ou le tableau croisé qui leur permettra de résoudre l’exercice. Exemple 1 : Une enquête a montré que : Avant de passer l’épreuve théorique du permis de conduire (le code)

Tp Probabilités conditionnelles -loi BINOMIALE Mathématiques BTS2GO 2008-2009 Exercice 1 Une agence de voyages propose exclusivement trois destinations: la destination A, la destination G et la destination M. 50% des clients choisissent la destination A. 30% des clients choisissent la destination G. 20 % des clients choisissent la destination M. Au retour de leur voyage, tous les clients de l’agence répondent aune enquête de satisfaction. Le dépouillement

moyenne et écart-type marginal pour le caractère âge du tableau précédent. 5) Distributions conditionnelles, moyennes et écart-types conditionnels. Si on fixe une valeur de la variable Y, par exemple Y  y j , on a alors la distribution de X correspondante dans la colonne Y  y j . Cette distribution s’appelle la distribution conditionnelle de X liée par Y  y j . Modalités x1 x2 Effectif conditionnel lié par Y  y j n 1j n 2j xi n ij xk n Kj L’effectif total est alors n. j (total

. . . . . . . . . . . . 1.1.4 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Loi de probabilité d’une variable aléatoire . . . . . . . 1.2 Conditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Probabilité conditionnelle à un événement . . . . . . . 1.2.2 Formule de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Indépendance en probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Indépendance d’événements . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Indépendance

− p ( A ) ( ) 3-1) Conditionnement et indépendance Si A et B sont deux événement, tels que p ( A ) ≠ 0 , on définit la probabilité conditionnelle de l’événement B sachant A par : pA ( B ) = p( A ∩ B) p ( A) ⇔ p ( A ∩ B ) = p ( A) × pA ( B ) . Les probabilités situés « sur les sous-branches » d’un arbre sont des probabilités conditionnelles Les événements A et B sont indépendants lorsque la réalisation de l’un n’influe pas sur la réalisation de l’autre. Autrement dit, p A ( B )

CONDITIONNEMENT ET INDEPENDANCE Dans tout le chapitre, E désigne l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire et P désigne une loi de probabilité sur E. I. Probabilité conditionnelle Définition : Soit A et B deux événements avec P( A) ≠ 0 . On appelle probabilité conditionnelle de B sachant A, la probabilité que l'événement B se réalise sachant que l'événement A est réalisé. Elle est notée PA( B) et est P( A) Exemples : 1) On tire une carte au hasard dans un jeu de 32

       boule 2 Dans cet arbre, un chemin est composé de 2 branches et représente une issue. boule La probabilité que la 1ère boule ait le numéro 1 et que la 2ème boule tirée ait le numéro 2 est III – Probabilité conditionnelle Propriété 3: – Dans un arbre pondéré, la probabilité d'un évènement correspondant à un chemin est égale au produit des probabilités des branches qui composent ce chemin. – La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est égale

définis par un alphabet d’entrée X et émet à sa sortie des suites de symboles définis par un alphabet de sortie Y Les tailles ‫׀‬X‫ ׀‬de X et ‫׀‬Y‫ ׀‬de Y pouvant être différentes. La sortie et l’entrée sont liées par une loi de probabilité conditionnelle P(Y1,…,Ym ‫ ׀‬X1,…,Xn), n et m étant entiers X1,…,Xn P(Y1,…,Ym ‫ ׀‬X1,…,Xn), MFEZE Michel DEA LETS-GETENSP UYI - Octobre 2005 Y1,…,Ym 5 • Canal causal Le canal est dit causal si ∀m ≤ n Y X ,..., X ) = P (Y ,..., Y X P (Y