Limite d'une suite

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polynˆmes o D´finition 1 (Polynˆme). Un polynˆme ` coefficients r´els est une suite de nombres r´els e o o a e e ayant un nombre fini de termes non nuls. L’indice du dernier terme non nul est appel´ le e degr´ du polynˆme. La suite dont tous les termes sont nuls est appel´e polynˆme nul et e o e o son degr´ et −∞. L’ensemble des polynˆmes a coefficients r´els est not´ R[X]. e o ` e e Si q ∈

Ch 9 Calcul intégral – Notion de primitive Correction des exercices type Bac Exercice 7 Bac S – Liban - Mai 2006 Partie A : étude d’une fonction Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +[ par : f(x) = x ln(x + 1). Sa courbe représentative (C) dans un repère orthogonal (O ;  ; ) est donnée en annexe ci-dessous. 1) a) Montrer que la fonction f est strictement croissante sur l’ensemble [0 ; +[.

déduit qu’il existe une solution unique : Z1 = 25 (31 − 42i), Z2 = Si on conjugue les équations du système (S), on trouve : (1 − i)Z1 − 2Z2 =3+i −iZ1 + (3 − 2i)Z2 = 1 − 2i. 1 25 (−1 + 7i). Toute solution pour (U1 , U2 ) est donc la conjuguée d’une solution pour (Z1 , Z2 ) et vice versa. L’unique 1 1 solution est donc U1 = 25 (31 + 42i), U2 = 25 (−1 − 7i). 1 Exercice II. n 1. Pour tout z ∈ C∗ zk = \ {1} et pour tout n ∈ N, montrer l’égalité : k=0 z n+1 − 1 . z−1 n z k = z n+1 − 1. Or

cours d’Analyse 4 1 Fonction d’une variable r´ eelle 1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Continuit´e en un point xo . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Continuit´e `a droite, `a gauche de xo . . . . . . . 1.3 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Limite `a droite, `a gauche de xo . . . . . . . . . 1.3.2 Op´erations sur les limites . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Quelques

Maisf(1,5)=1,52 −2=0,25>0,donclezéroestentre1et1,5, f(1,25) ≃ −0,43 < 0 donc le zéro est entre 1,25 et 1,5, f (1, 375) ≃ −0, 1 < 0 donc le zéro est entre 1, 375 et 1, 5, f (1, 4375) ≃ 0, 06 donc le zéro est entre 1, 375 et 1, 4375, et ainsi de suite. On obtient ainsi un encadrement aussi précis que souhaité de . . .√2. 1 Dichotomie La méthode la plus élémentaire et la plus simple à comprendre est l’algorithme de di- chotomie. exercice : déterminez (en fonction de a, b et n) le nombre d’étapes

52n+1 4) un = 2× 3(n+1) 7 Exercice 2 : étude d'une suite du type un+1 = a×un + b × Soit la suite (un) définie par u1 = 2 et, pour tout entier n de un+1 = 3un – 2. On considère la suite (vn) définie sur V* par vn = un + α (avec α ∈ Y). 1) Déterminer α pour que (vn) soit une suite géométrique, dont on précisera la raison et le premier terme. 2) Ecrire vn, puis un en fonction de n. Exercice 3 Préciser, si possible, les variations et la limite des suites (vn) suivantes : 1) vn = (-1)n +

appartient aussi à N car d’une√part n1 ∈ N (car √ n0 et n0 · 2 sont des entiers) et d’autre part n1 · 2 = n0 · 2 − n0 · 2 √ ∈ N. Montrons maintenant √ que n1 est plus petit que n0 . Comme 0 < 2 − 1 < 1 alors n1 = n0 ( 2 − 1) < n0 et est non nul. Bilan : nous avons trouvé n1 ∈ N strictement plus √ petit que n0 = min N . Ceci fournit une contradiction. Conclusion : 2 n’est pas un nombre rationnel. √ 3. Soient r, r deux rationnels avec r < r . Notons x = r + √ 2 2 (r − r). 2 2 D’une part x ∈]r, r [ (car

ordinaire, mais à l’intérieur de différents Classeurs que l’on pourra transférer de machine à machine, ou entre un ordinateur et une unité nomade. Chaque classeur peut contenir différentes Activités, elles-mêmes constituées d’une ou plusieurs Pages. Par ailleurs, chaque page d’une activité permet d’utiliser différentes Applications : Calculs, Graphiques & géométrie, Tableur & listes, Éditeur mathématique, Données & statistiques. Il est également possible d’utiliser un Éditeur de programmes, nous

|fn (x) − fn+p (x)| ≤ N∞ (fn − fn+p ) → 0 quand n → +∞ et p quelconque par hypoth`se. Donc la suite e (fn (x)) est de Cauchy pour tout x, dans R complet, donc converge. la convergence simple ? 2) Une suite de Cauchy est born´e, donc on peut ´crire |fn(x) − fn+p (x)| ≤ N∞ (fn − fn+p ) ≤ M avec un e e majorant M ind´pendant de x, p, n. Faisons tendre p vers ∞ ci-dessus, cela donne par passage a la limite e ` d’in´galit´s larges |fn(x) − f(x)| ≤ M ; donc f est born´e comme somme d’applications born´es

est une application de E dans lui mˆme, on pourra d´finir par r´currence la puissance e e e e ni`me de f par f 2 = f ◦ f et f n = f n−1 ◦ f = f ◦ f n−1 . form´ par les couples (x, f (x)) quand x d´crit l’ensemble de d´part E. e e e Le graphe d’une application f de E dans F est le sous-ensemble Cf du produit E × F (x, y) ∈ E 2 , l’´galit´ f (x) = f (y) implique x = y. e e D´finition. Soit f : E → F . On dit que f est injective si et seulement si : pour tout e On dit que f est surjective