Logarithme discret

FONCTIONS EXPONENTIELLES - FONCTIONS LOGARITHMES 1. De la fonction exponentielle (de base e) à la fonction logarithme népérien 1.1. Théorème La fonction exponentielle (de base e) est continue, strictement croissante sur  et : lim ex = 0 et x ® -¥ lim ex = +¥ x ® +¥ Démonstration : · Continuité La fonction exponentielle est solution, sur , de l'équation différentielle y' = y. Elle est donc nécessairement dérivable sur  et par conséquent continue sur . · Stricte monotonie La

CHAPITRE 4 Exercice 1 Fonction logarithme népérien 1 Les prérequis : « Vérifier les acquis » (page 86) Prérequis testés Déterminer le nombre de solutions d’une équation du type f ( x ) = k à l’aide du tableau de variation de f. • Savoir transcrire graphiquement les données d’un tableau de variation. • Savoir traduire des limites en termes graphiques 2 1 O 1 Réponses a) f ( x ) = 0 admet deux solutions. b) f ( x ) = – 4 admet une solution. c) f ( x ) = 7 admet une solution. 3 Calculer

Mathématiques appliquées aux S.E.S. Licence 1ère année - Joël Gaden Chapitre 1 - FONCTIONS A UNE VARIABLE Part I Rappels nécessaires hors amphi 1 1.1 Fonctions usuelles Fonction logarithme népérien. La fonction ln est une bijection strictement croissante de R∗ sur R. + Formules: ( srce = sous réserve des conditions d’existence ): ln ab = ln a+ ln b ln a = ln a− ln b b 1 ln a = ln 1− ln a = − ln a ln 1 = 0 ln ar = r ln a pour tout r´el r ln e = 1 e Dérivée (srce): (ln x) = ′ 1 >0 x

où x est un réel quelconque, admet une unique solution y appartenant à ]0; +∞[. Ce réel y, l’antécédent de x par la fonction logarithme népérien, sera noté exp x et la fonction qui à x ∈ R associe le nombre exp x est appelée fonction exponentielle. Définition 6.1. Pour tout réel x, on appelle exponentielle de x, et on note exp x, l’unique réel de ]0; +∞[ dont le logarithme népérien est x. On a ainsi : exp : R −→ ]0; +∞[ x −→ exp x, où exp x est le nombre tel que ln(exp x) = x Par définition on a donc

Fiche 3 : Exponentielles, logarithmes I - Fonction exponentielle népérienne Théorème et définition Il existe une unique fonction f dérivable sur telle que : f’ = f et f(0) = 1 On la nomme fonction exponentielle népérienne et on la note exp. Propriétés immédiates La fonction exp est strictement positive sur R. La fonction exp est dérivable sur et : exp’(x) = exp(x) pour tout x réel. La fonction exp est strictement croissante sur R. Le nombre e. Notation xe On désigne le réel exp(1) par

être défini d'une manière générale comme une transformation d'un signal d'entrée en un signal de sortie Exemples : filtre, amplificateur, téléphone, TV, modem, … Représentation sous forme de schéma bloc x(t) Système continu y(t) x[n] Système discret y[n] Interconnexions des systèmes  Série ou cascade x1 Système 1 x1 y1 y1 x2 Système 2 x2 = y1 = y2 y2 x2 Généralement, la sortie dépond de l'ordre d'emplacement des systèmes. Exemple : x1 x S1 S1 x2 y1 = x12 S2 y12 = ? x S2

paragraphe suivant offre une présentation relativement complète des principales métaheuristiques qui sont le plus couramment utilisées aujourd’hui. 2. L’OPTIMISATION COMBINATOIRE L'optimisation combinatoire est le domaine des mathématiques discrètes qui traite de la résolution du problème suivant : Soit X un ensemble de solutions admissibles. Soit f une fonction permettant d'évaluer chaque solution admissible. Il s'agit de déterminer une solution s* appartenant à X qui minimise f. L'ensemble

| |LA FONCTION LOGARITHME NEPERIEN | |LA FONCTION LOGARITHME de BASE 10 7ième (5p) | |I) Définition de la fonction logarithme népérien: | 1) Introduction: La fonction: x [pic] est continue sur l’intervalle

utilise parfois le logarithme décimal log 10 , noté souvent simplement log ( à ne pas ln x confondre avec le logarithme Népérien , noté ln, parfois Log ) : log x = log 10 x = ln 10 on a pour tout x strictement positif : x = 10 log10 x, et pour tout z de IR, log 10 ( 10 z ) = z De façon générale, la fonction logarithme en base a est la seule fonction f définie, croissante et dérivable sur R+* telle que : f(x.y)= f(x) + f(y) et f(a) =1 1.4.8 Fonction exponentielle La fonction logarithme étant continue

racine carrée x → x est définie sur [ 0; +∞[ . Si l’expression de la fonction présente un radical, l’expression située sous le radical doit être POSITIVE OU NULLE. 4) La fonction logarithme népérien x → ln x est définie sur ]0;+∞[ . Si l’expression de la fonction présente un logarithme, l’expression situé dans le logarithme doit être STRICTEMENT POSITIVE. 5) La fonction exponentielle x → e x est définie sur ℝ . Chacune de ces conditions, ou contraintes, peut entraîner la résolution d’une équation