Logarithme discret

BTS DOMOTIQUE Fonctions 2008-2010 FONCTIONS Table des matières I Fonctions usuelles I.1 Fonctions en escalier . I.2 Fonctions affines . . . I.3 Fonction logarithme . I.4 Fonction exponentielle I.5 Fonctions puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre 4 Chapitre 4. Fonctions logarithmes Activités et applications f’(x) = 1. Définitions de la fonction logarithme népérien 1– × x – ln (x) 1 – ln(x) f’(x) = x = . x2 x2 Application 2 Activité. On découvre la fonction 1 La fonction F définie sur ]0 ; + ∞[ par F(x) = ln(x) – est x une primitive de f sur ]0 ; + ∞[. Les primitives de f sur ]0 ; + ∞[ sont les fonctions G 1 définies sur ]0 ; + ∞[ par G(x) = ln(x) – + k ; k réel x quelconque. 1. On vérifie que ln(5) ≈ 1,609. 2. a) On obtient

Fonctions exponentielles et logarithmes On voit ici les propriétés de deux fonctions fondamentales : l’exponentielle et le logarithme. Il faut bien comprendre qu’il y a différentes manières de définir l’exponentielle mais que ces définitions sont équivalentes entre elles. Le logarithme étant la réciproque de l’exponentielle, ses propriétés découlent de celles de l’exponentielle. 1. La fonction exponentielle Définition Il existe une nique fonction f dérivable et strictement positive sur R telle

Tle 1 FONCTION LOGARITHME I ) Fonction logarithme népérien 1 ) Définition 1 La fonction x a est dérivable sur ] 0; + ∞ [ donc elle admet une primitive qui s’annule x pour x = 1 . 1 On appelle fonction logarithme népérien , notée ln , la primitive de x a définie sur x ] 0; + ∞ [ , qui s’annule pour x = 1 . Conséquences : • L’ensemble de définition de ln x est ] 0; + ∞ [ • x a ln x est dérivable sur ] 0; + ∞ [ et pour tout x de ] 0; + ∞ [ , ( ln x ) ' = ln' x = 1 x • ln1 = 0 1 1 • ln' x =

différentielles . . . . . . I.2.1. Définitions générales et formule de Stokes I.2.2. Indice d’un lacet par rapport à un point . . I.3. Homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4. Deux applications . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4.1. Logarithme complexe . . . . . . . . . . . . I.4.2. Quelque propriétés de l’indice . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CHAPITRE 5 FONCTIONS LOGARITHMES 1 Définition et représentation graphique de la fonction logarithme népérien 1. Définition 1 -- est définie, continue sur ]0 ; + ∞ [ , elle admet x donc des primitives sur ]0 ; + ∞ [ . La fonction inverse x La fonction logarithme népérien x ln x est la primitive, définie sur 1 -- qui s’annule en 1. ]0 ; + ∞ [ , de la fonction x x 2. Conséquences • La fonction logarithme népérien, dont la dérivée est strictement positive sur ]0 ; + ∞ [ , est strictement croissante

dont la fonction de transfert est égale à s H1 (s). c- Soit H2 (s) = H(s + 1 ). Déterminer le type du filtre dont la fonction de transfert est égale s à H2 (s). d- Que pouvez-vous conclure ? Exercice 3 (8 points) On considère le système LTI discret dont la réponse y(n) à l’éntrée x(n) est donnée par : y(n) = ay(n − 1) + x(n) a ∈ R+ (1) 1- Dessiner le schéma fonctionnel du système. 2- Ecriver l’expression de y(n − 1) puis remplacer y(n − 1) dans l’équation (1) par cette expression. Nous

. . . , 9}))) ? Solution Puisque card({0, 1, . . . , 9}) = 10, on a tout d’abord l’égalité card(P({0, 1, . . . , 9})) = 210 = 1024 , puis card(P(P({0, 1, . . . , 9}))) = 21024 . Pour déterminer le nombre de chiffres de ce nombre, on utilise le logarithme décimal (noté log). En effet, si un nombre entier A s’écrit p ak 10k , A= k=0 avec ap = 0, et 0 ≤ ak ≤ 9 si k est compris entre 1 et p, alors, on peut écrire A = B · 10p où p ak 10k−p . B= k=0 Mais p 1≤B≤9 ∞ k−p 10 k=0 10−k = <9 k=0

2 En supposant que le log dans ce cas est le logarithme décimal On a que log( 10) = 1 donc on a : 1 + 3 a - 3 b 2 Réponse 10 : FV = PV (1+i)n 12000 =8000 (1 +0.05 )n (1.05)n= 12000 8000 1.05n = 1.5 Comme n est l’exposant qu’il faut donner à 1.05 pour obtenir 1.5, on utilise le logarithme : N = log1,051,5= log 1.5 = 0.17609 = 8.31 années

Tableau de variations de h D'après les questions précédentes : x h '(x) h(x) 0 – +∞ e 0 + +∞ +∞ 0 On a h(e) = e − e ln(e) = e − e = 0. D’après ce tableau h(x) = 0 ⇐⇒ x = e. L’équation Ee, xe =e x est équivalente (en appliquant le logarithme népérien) à e ln(x) = x ⇐⇒ h(x) = 0. Conclusion : l’équation Ee a une solution unique e. II Résolution de l’équation Ea 1. Soit x un réel strictement positif. Montrer que x est solution de l’équation Ea si et seulement si x est solution de l’équation