Loi binomiale

dans 'pqrstuv'. Ainsi vous comprendrez mieux les idées de base.) Exercice 1. Mémoïzation (et le triangle de Pascal) Ceci est un rappel ! (Nous avons déjà fait un exercice similaire, avec la suite de Fibonacci). le développement binomial : (a+b)n=∑m=0n(nm)ambn−m utilise les coefficients binomiaux (ou de Newton) (nm), ou Cmn.  Ils s'expriment par (nm)=n!m!⋅(n−m)!, mais peuvent être définis récursivement :  (nm)=(n−1m−1)+(n−1m), avec (n0)=(nn)=1. Implémenter la procédure bino(n,m) qui calcule et retourne Cmn. Vérifier

fonction de répartition et lois discrètes Loi de probabilité d’une variable aléatoire Y fonction d’une variable aléatoire X Indépendance de deux variables aléatoires Moments d’une variable aléatoire 5 • Lois de probabilité discrètes 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 Définition d’une variable discrète Loi de Dirac Loi uniforme Loi binomiale ou loi des tirages avec remise Loi multinomiale Loi hypergéométrique ou loi du tirage exhaustif Loi de Poisson Lois limites Résumé 6

d’asymétrie Calculons les débits de retour des périodes 20, 50 et 100 ans avec la loi log-normale On utilise la relation suivante : On a Pour une période de retour de 20 ans on a Selon le tableau 10.8 on a Z=1.645 donc /s Pour une période de retour de 50 ans on a Selon le tableau 10.8 on a Z=2.06 donc /s Pour une période de retour de 100 ans on a Selon le tableau 10.8 on a Z=2.33 donc ainsi /s La loi Log-pearson : avec Pour une période de retour de T ans , on a p=1/T On calcule

MATHEMATIQUES Série S Formules :  n  n × (n − 1) × (n − 2) × ........................ × (n − p + 1)  = p! p n n!  = p  p! × (n − p)!  n Les nombres   s’appellent aussi les nombres binomiaux. p Ce nombre correspond à la touche nCr des calculatrices. ► À SAVOIR Propriétés des nombres binomiaux Pour tout entier naturel n et tout entier naturel p tel que p ≤ n : n •   est un entier ; p n  n  n •  =  ;   =1 p n − p 0 n ; =n 1 Formule de Pascal : pour

Calcul scientifique Approximation polynômiale uniforme-Polynômes de Bernstein [pic] On considère les suites suivantes : [pic] Question 1 : Montrons que [pic] [pic] On reconnaît la formule du binôme de Newton, [pic] Dans notre cas, [pic] d’où : [pic] On veut montrer que, [pic] [pic] [pic] On pose[pic]. [pic] On vérifie sur Scilab pour le cas particulier où : x=0,1 et n=3

également aux coefficients binomiaux : Question: Un code binaire est une suite (ou un vecteur) constituée des chiffres 0 et 1.On considère des codes binaires de longueur 12. Combien y-a-t-il des codes contenants exactement 4 fois le chiffre 1? Réponse: C412 = 495. Noter l’équivalence au problème de comité : On choisit 4 positions (membres) sur 12. Généralisation: code binaire de longueur n contenant k fois « 1 », 0 ≤ k ≤ n: Ckn. 6 I.2.d. Propriétés des coefficients binomiaux Théorème : (Formule

. . . . . . . . . . . . page 15 Le binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 18 2.1 Les coefficients binomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 18 2.2 La formule du binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

p(B)  Variable aléatoire   ( Ω , P   ( Ω ),p) est un espace probabilisé fini  Soit X une variable aléatoire définie sur  Ω   On note X( Ω ) L’ensemble image de  Ω par X   { } X( Ω ) =   x1 , x 2 , x 3 ,..., x p −1 , x p  ;  p ∈ ∗   On appelle loi de probabilité de X l’application  p X : Ω → [ 0, 1] x → p(X=x i )       Conséquence  Si X une variable aléatoire définie sur  Ω  tel que   { } X( Ω ) =   x1 , x 2 , x 3 ,..., x p −1 , x p  ;  p ∈ ∗ p  alors  ∑ p(X = x ) = 1   i =1 i Espérance mathématique d’une variable aléatoire X 

2. a. L’expérience consiste en une répétition de 400 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, où la probabilité de « succès » (c’est-à-dire que l’étudiant ait la bonne réponse) est égale à P(A). La variable aléatoire X suit donc la loi binomiale de paramètres n = 400 et p = P(A) = 31 (1 + 2r ). 30, n f 5 et n(1 − f ) b. On a n = 400 et f = 240 400 = 0,6, donc n confiance au seuil de 95 % de l’estimation de p est donc : f− 1 n ; f+ 1 n 5, un intervalle de = [0,55 ; 0,65]. Ainsi, avec

associe la fréquence f du K caractère C. Alors F = . On suppose n petit par rapport à N donc K suit la loi binon miale B(n, p). 3. 2. Distribution d’échantillonnage des fréquences Soit l’ensemble de tous les échantillons de taille n, issus de la population. Les fréquences f1, f2,.... fi,...constituent une série statistique appelé distribution des fréquences. Puisque K suit la loi binomiale B(n, p) nous savons que : E(K) = np et V(K) = npq où 1 np 1 npq pq q = 1 – p. alors E ( F ) = E (