Loi binomiale

NEGATIVE : TRANSFORMEE DE LAPLACE..................................... 4 II. LOI DE POISSON .................................................................................................................................... 4 III. LA LOI EXPONENTIELLE.................................................................................................................... 6 IV. MANQUE DE MEMOIRE DE LA LOI EXPONENTIELLE .............................................................. 7

Introduction…………………………………………………………………………….…4 2. Lois discrètes……………………………………………………………………………..4 2.1. Loi uniforme…………………………………………………………………………………………..4 2.1.1. Définition……………………………………………………………………………..….4 2.1.2. Espérance et variance…………………………………………………………..5 2.2. Loi de Bernoulli……………………………………………………………………………………..5 2.2.1. Définition………………………………………………………………………………...5 2.2.2. Espérance et variance………………………………………………………….5 2.3. Loi Binomiale………………………………………………………………………………………….6 2.3.1. Définition……………………………………………………………………………

questions. On s’intéresse au nombre N de bonnes réponses qu’il obtient ainsi aux 100 questions. 1°) justifier que la loi de probabilité de N est la loi binomiale B(100 ; 0,45) 100 une m^exp a 2 issues Indep des res Constance de la proba de succeès N compte le nbre de succès 1 ………. ….. on admettra dans toute la suite de l’exercice, que la variable N suit la loi binomiale B(100 ; 0,45) 2°) Calculer la probabilité d’avoir 50 bonnes réponses parmi les 100. (donnez le détail du calcul)

d'automobilistes arrivant au péage. La variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre  = 1. Le processus de Poisson se rencontre aussi dans les exemples suivants : appels à un standard téléphonique, arrivées de clients à une caisse, nombre d'erreurs sur une page de documents, pannes de machine, apparition de défauts sur des tissus… Loi de Poisson : La variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre  ( > 0 ) lorsque sa loi de probabilité est : k est un entier naturel. On a alors

aussi souvent employ´ee). Une variable al´eatoire X de loi la mesure de Dirac en x0 È E est presque sˆ urement constante ´egale `a x0 et r´ecipoquement : PX Øx0 Ù ÈØX x0 Ù 1. Lorsque E Ê, on a ÖX × x0 , VarÔX Õ ϕX Ôθ Õ 0, eiθX eiθx0 . Fonction de r´ epartition Mesure de Dirac en x0 1 1 0 0 x0 x0 On pourra prendre pour d´efinition : D´ efinition. — Soit ÔE, E Õ un espace mesurable s´epar´e (tous les singletons sont mesurables). Toute loi discr`ete sur ÔE, E Õ est combinaison barycentrique

ESTIMATEURS, INTERVALLES DE ` CONFIANCE ET TESTS D’HYPOTHESES Paul Lescot 05 Mai 2009 1.Estimateurs ˆ Soit θ un param`tre (ou une fonction des param`tres) de la loi d’une variable e e al´atoire X (par exemple l’esp´rance ou la variance), et soit alors X1 ,...,Xn ,... une e e suite de variables al´atoires ind´pendantes et chacune de mˆme loi que X. On e e e ˆa cherche ` estimer θ ` partir d’un ´chantillon empirique. On appelle estimateur de a e ˆ θ une fonction θn = gn (X1 , ..., Xn ) des n premi`res

souvent employ´e). Une variable al´atoire X de loi la mesure de Dirac en x0 È E est presque sˆrement e u constante ´gale ` x0 et r´cipoquement : PX Øx0 Ù ÈØX x0 Ù 1. Lorsque E Ê, on a e a e ÖX × x0 , VarÔX Õ 0, 1 ϕX Ôθ Õ eiθX eiθx0 . Mesure de Dirac en x0 1 Fonction de r´partition e 0 x0 0 x0 On pourra prendre pour d´finition : e e e D´finition. — Soit ÔE, E Õ un espace mesurable s´par´ (tous les singletons sont mesurables). e e Toute loi discr`te sur ÔE, E Õ est combinaison barycentrique

VARIABLES ALEATOIRES TABLE DES MATIÈRES 1. Loi de probabilité 2 1.1. Exemple 2 1.1.1. Calcul de probabilités sur un univers W 2 1.1.2. Variable aléatoire à valeurs réelles. 2 1.1.3. Probabilité image définie par une variable aléatoire 2 1.1.4. Loi de probabilité ou distribution d’une variable aléatoire 3 1.1.5. Fonction de répartition 3 1.2. Autres exemples 3 1.2.1. Exemple de variable aléatoire discrète 3 1.2.2. Exemple de variable aléatoire discrète, prenant une infinité de valeurs 3

s’il sort une fois. On perd 1 euro s’il ne sort pas. Déterminer la loi, l’espérance et la variance de la variable X représentant le nombre de sortie du nombre choisi puis celle du gain Y. Probabilité de gagné trois euros = 1/6*1/6*1/6=1/216 Probalité de gagné deux euros = 3*1/6*1/6*5/6= 3*5/216 Probabilité de gagné 1 euros = 3*1/6*5/6*5/6 = 3*25/216 Probabilité de perdre 1 euros = 5/6*5/6*5/6= 125/216 X suit le loi binomiale B(3,1/6) Yi 3 2 1 -1 Pi 1/216 15/216 75/216 125/216 Espérance

usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 La loi binomiale B(n, p) . . . . . . . . . . . . 1.4.2 La loi hyperg´eom´etrique H(N, n, p) . . . . . 1.4.3 La loi de Poisson P(m) . . . . . . . . . . . . 1.5 Lois continues usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 La loi normale (Laplace-Gauss) N (µ, σ) . . . 1.5.2 La loi du Khi-deux `a n degr´es de libert´e (χ2n ) 1.5.3 La loi de Student `a n degr´es de libert´e (Tn ) . 1.5.4 La loi de Fischer-Snedecor (F(n1 , n2 )) . . . . . .