Loi binomiale

A ∩ B ) = 0.05 + 0.10 – 0.005 = 0.145 Partie B : Loi binomiale et loi de Poisson 1. La variable aléatoire X suit une loi binomiale car nous avons n tirages indépendants (prélèvements au hasard et avec remise) et il y a deux issues possibles (expérience de Bernoulli) : soit la fiche indique une pression intraoculaire normale (succès p =0.10), soit ce n’est pas le cas (échec q = 0.90). Les paramètres sont B (n , 0.10). 2. On a la loi binomiale de paramètres B(10 , 0.10). On va calculer P(X=0) :

B – Loi binomiale D : une composition florale prélevée au hasard est défectueuse P(D) = 0,025 On prélève au hasard 12 compositions florales (assimilé à un tirage avec remise) X est la variable aléatoire, qui, à tout prélèvement ainsi défini associe le nombre de compositions qui sont défectueuses. 1. On effectue un prélèvement 12 fois de suite, les épreuves sont indépendantes 2 à 2 et il y a 2 issues : La composition est défectueuse p = 0,025 ou elle ne l’est pas q = 0,975 Donc X suit la loi binomiale

résultats approchés sont à arrondir à 10−3 . A. Loi normale On note X la variable aléatoire qui, à chaque pelle prélevée au hasard dans la flotte, associe le nombre de m3 de matériaux extraits pendant la première heure du chantier. On suppose que la variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne 120 et d’écart-type 10. 1. Calculer p(110 X 130). 2. Calculer la probabilité que la pelle extraie moins de 100 m3 pendant la première heure de chantier. B. Loi de Poisson On note Y la variable aléatoire

II/ Lois de probabilités: a) Loi de Bernouilli: Soit X une variable aléatoire discrète. On fait une expérience 1 fois et on considère X le nombre de succès obtenus. X prend les valeurs 0 ou 1 Soit p = P(x=1) --> c’est la probabilité de succès 1.p = P(X=0) --> c’est la probabilité de l’échec Ainsi on dit que X suit la loi de Bernouilli de paramètre P et on note x ~> B(p) (~> = suit) Exemple: On lance une fois un dé et on s'intéresse a l’obtention du chiffre “3” x:nombre

. . . . . . . . . . . . . . . . e ` 3.1 Quelques s´ ries a connaˆtre . . . . . . . . . . . . . . . . e ı 3.2 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ e 3.3 Loi de Poisson (loi des ev´ nements rares) . . . . . . . . 3.4 Loi g´ om´ trique ou loi de Pascal . . . . . . . . . . . . . e e 3.5 Loi g´ om´ trique g´ n´ ralis´ e ou loi binomiale n´ gative . e e e e e e 3.6 Loi hyperg´ om´ trique . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Déterminer la loi de probabilité de X.(0,5 pt) La variable aléatoire X correspond au nombre de fois que Claude est contrôlé au cours des 40 trajets. Les valeurs possibles de X sont : {0 ; 1 ; 2 ; … ; 40} X suit la loi binomiale de paramètres n = 40 et p. Pour tout nombre entier k[pic]{0 ; 1 ; 2 ; … ; 40}, on a : P(X=k) = [pic][pic] p k [pic] (1 – p) 40 – k 2) Dans cette partie on suppose que p = [pic] . a) Calculer l’espérance mathématique de X. (0,25 pt) Comme X suit la loi binomiale

discrète si ?(Ω) = {?1 , ?2 , … , ? ? } où {?1 , ?2 , … , ? ? } est l’ensemble des valeurs prises par ?. Définition : "Loi de probabilité d’une variable aléatoire réelle discrète" Soit ? une variable aléatoire réelle discrète définie sur un univers Ω. L’application de ?(Ω) = {?1 , ?2 , … , ? ? } vers [0,1] notée ? ? , qui à tout ? ? associe ?(? = ? ? ) est appelée loi de probabilité de ?. Définition : "Fonction de répartition d’une variable aléatoire" Soit ? une variable aléatoire réelle

usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.4.1 La loi binomiale B(n, p) . . . . . . . . . . . . 1.4.2 La loi hyperg´om´trique H(N, n, p) . . . . . e e 1.4.3 La loi de Poisson P(m) . . . . . . . . . . . . 1.5 Lois continues usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 La loi normale (Laplace-Gauss) N (µ, σ) . . . 1.5.2 La loi du Khi-deux ` n degr´s de libert´ (χ2 ) a e e n 1.5.3 La loi de Student ` n degr´s de libert´ (Tn ) . a e e 1.5.4 La loi de Fischer-Snedecor (F(n1 , n2 )) . . . . 5 5 5 7

deux places de cinéma" a) Donner P(G), PG(U) et PG(D) b) Montrer que la probabilité de gagner exactement une place de cinéma est égale à 0,3. c) Soit X la variable aléatoire égale au nombre de places de cinéma gagnées par le client. Déterminer la loi de probabilité de X. Calculer l'espérance mathématique de X. 2. Un autre client achète deux jours de suite une tablette de chocolat. a) Déterminer la probabilité qu'il ne gagne aucune place de cinéma. b) Déterminer la probabilité qu'il gagne au

EXERCICE CORRIGE Une laiterie produit des camemberts commercialisés sous la marque « Le moine gourmand ». La masse X, exprimée en g, d’un camembert tiré au hasard dans la production, est distribuée selon une loi normale. On tire un échantillon simple de 17 camemberts que l’on pèse et dont le tableau suivant fournit les masses : 250 254 254 253 256 250 257 251 253 255 250 255 252 261 252 251 255 1a) En utilisant une calculatrice donner la moyenne et la variance de cet échantillon. b) Donner une