Loi binomiale

RESOLUTION : Changement de variable : La durée de vie des transmissions des automobiles XYZ est une variable distribuée selon une loi normale de moyenne 35000km et d’écart type 5000km. Le fabricant de la transmission ne veut absolument pas réparer sous garantie plus de 20% des transmissions. Quelle doit être, en km, la période de garantie ? RESOLUTION : On regarde sur la loi normale (0,1) : Dans les tables : donc nous prenons le négatif car il ne veut pas réparer plus de 20% des transmissions Quatre

discr`etes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 La loi binomiale B(n, p) . . . . . . . . . . . . 1.4.2 La loi hyperg´eom´etrique H(N, n, p) . . . . . 1.4.3 La loi de Poisson P(m) . . . . . . . . . . . . 1.5 Lois continues usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 La loi normale (Laplace-Gauss) N (µ, σ) . . . 1.5.2 La loi du Khi-deux `a n degr´es de libert´e (χ2n ) 1.5.3 La loi de Student `a n degr´es de libert´e (Tn ) . 1.5.4 La loi de Fischer-Snedecor (F(n1 , n2 )) . . . . . . . . .

fonction de répartition et lois discrètes Loi de probabilité d’une variable aléatoire Y fonction d’une variable aléatoire X Indépendance de deux variables aléatoires Moments d’une variable aléatoire 49 49 52 54 56 57 58 59 5 • Lois de probabilité discrètes 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 Définition d’une variable discrète Loi de Dirac Loi uniforme Loi binomiale ou loi des tirages avec remise Loi multinomiale Loi hypergéométrique ou loi du tirage exhaustif Loi de Poisson Lois limites Résumé

. . . . . . . . . . . . . . e 1.4.1 La loi binomiale B(n, p) . . . . . . . . . . . . 1.4.2 La loi hyperg´om´trique H(N, n, p) . . . . . e e 1.4.3 La loi de Poisson P(m) . . . . . . . . . . . . 1.5 Lois continues usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 La loi normale (Laplace-Gauss) N (µ, σ) . . . 1.5.2 La loi du Khi-deux ` n degr´s de libert´ (χ2 ) a e e n 1.5.3 La loi de Student ` n degr´s de libert´ (Tn ) . a e e 1.5.4 La loi de Fischer-Snedecor (F(n1 , n2 )) . . . .

distance parcourue depuis l’évènement précédent. C’est donc bien une loi de Poisson. Item A vrai, B faux. De plus, la fréquence d’apparition est connue : elle vaut ¼ car nous nous intéressons au nombre de véhicules croisés par kilomètre. Il s’agit donc du seul paramètre de cette loi : lambda = ¼, qui est différent de 4, l’item C est donc faux. D : Vrai application de la formule du cours. E : Vrai : Bien que dans une loi de Poisson nous n’étudions que des probabilités d’apparition d’un nombre

d’une fonction de répartition et lois discrètes Loi de probabilité d’une variable aléatoire Y fonction d’une variable aléatoire X Indépendance de deux variables aléatoires Moments d’une variable aléatoire 5 • Lois de probabilité discrètes 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 Définition d’une variable discrète Loi de Dirac Loi uniforme Loi binomiale ou loi des tirages avec remise Loi multinomiale Loi hypergéométrique ou loi du tirage exhaustif Loi de Poisson Lois limites Résumé 6 • Lois de probabilité

Exercice 2.1 n k2k . Calculer k=1 2.3 2.3.1 Sommes binomiales Coefficients binomiaux Définition 2.1 Factorielle n ∗ Pour n ∈ N , on note n! le produit des entiers de 1 à n i.e. n! = k. On convient que 0! = 1. k=1 Définition 2.2 Coefficient binomial Soit n ∈ N et k ∈ 0, n . ❶ ➀ n k = n(n − 1) . . . (n − k + 1) n! = k! (n − k)!k! Remarque. Lorsque l’on interprétera les coefficients binomiaux de manière combinatoire, on verra que l’on peut convenir que

Coefficients binomiaux. Binôme de Newton I) Coefficients binomiaux : ❖ [pic] On considère un ensemble E à n éléments. Une partie de E à p éléments est un sous-ensemble de E à p éléments. 1° méthode : [pic] : il s’agit du nombre d’ensembles à p éléments pris dans un ensemble à n éléments. De même [pic], ce qui achève la démonstration 2° méthode : Plus subtil : à toute partie A de E à n éléments, on associe son complémentaires qui a n-p éléments. Cette « association »

donne-t-elle un résultat correcte ? Exercice n° 3 Écrire une fonction maxfact qui pour un entier k donné en paramètre calcule le plus grand entier n tel que n! ≤ k. Peut on améliorer la complexité de cette fonction ? Exercice n° 4 (Coefficients binômiaux) Utiliser la fonction fact de l'exercice précédent pour écrire une fonction binome qui calcule les coefficients du binômes Cnp = n!/((n-p)!p!). Quelle est la complexité de cette fonction ? Quelle est la valeur maximale calculable ? Proposer d'autres

programme qui construit et affiche le triangle de Pascal en calculant les coefficients binomiaux: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 . . . On n'utilisera pas de tableau, c.-à-d. il faudra calculer les coefficients d'après la formule ci-dessous, tout en définissant et utilisant les fonctions adéquates. Avec p : le numéro de la ligne, et q : le numéro de la colonne où se trouve le coefficient binomial. Exemple : le coefficient 2 qui est dans la ligne 2 et la colonne 1 est le résultat