Loi binomiale

Rappel sur les manipulations de 2.2.2 D´finition . . . . . . . . . . . . e 2.2.3 Ind´pendance . . . . . . . . . . e 2.2.4 Lois discr`tes usuelles . . . . . . e 2.2.5 Loi marginale . . . . . . . . . . 2.3 Esp´rance et variance . . . . . . . . . . e 2.3.1 Esp´rance . . . . . . . . . . . . e 2.3.2 Variance . . . . . . . . . . . . . 2.4 Loi et esp´rance conditionnelles . . . . e 2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 R´sum´ . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 3 Variables al´atoires ` densit´

reproduction intégrale ou partielle faite pur quelque procédé que ce soit, sans Je consentement de l'auteur ou de ses ayants cause, est illicite el constitue une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénaL Par ailleurs, la loi du 1 1 mars 1957 interdit formellement Jes copies ou les reproductions destinées à une utilisation collective. © Editions Teclmip. Paris, 2006. Imprimé en France ISBN 2-7108-0814-5 Avant-propos La précédente édition de cet ouvrage a été publiée

. . . . . . e 2.4 Lois discr`tes finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.4.1 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Loi Binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Loi hyperg´om´trique . . . . . . . . . . . . . . . e e 2.5 Lois discr`tes infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.5.1 La Loi G´om´trique . . . . . . . . . . . . . . . e e 2.5.2 La Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Variables al´atoires continues . . . . .

77 77 78 83 83 84 85 87 91 91 92 94 95 95 97 101 101 102 102 104 105 6 Estimation non param´trique de quantit´s r´elles e e e 6.1 Les outils de la statistique non param´trique . . . . e 6.1.1 Statistiques d’ordre et de rang . . . . . . . . 6.1.2 Loi de probabilit´ empirique . . . . . . . . . e 6.2 Estimation de l’esp´rance d’un ´chantillon . . . . . e e 6.2.1 Estimation ponctuelle . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Intervalle de confiance . . . . . . . . . . . . 6.3 Estimation de la variance d’un ´chantillon

Mémento de statistique 1 Tables de lois de probabilités usuelles Ces tables présentent les principales caractéristiques des lois de probabilité les plus usuelles. Pour chaque loi de probabilité, on donne son nom usuel, son symbole, son support et son espérance. Les lois discrètes sont définies par les probabilités élémentaires et la fonction génératrice, les lois continues par la densité et la fonction caractéristique. Pour les lois unidimensionnelles, on donne la variance, et pour les lois multidimensionnelles

Exercice n°1 : D’après CCP PSI 2007 On notera au choix les coefficients binomiaux, pour n et p entiers tels que p ≤ n : n n! p   = Cn = p !( n − p ) !  p Soit n un entier naturel , pour p ∈ 0, n , on note Ap = ( aij ) la matrice de M n − p +1 ( ℝ ) dont p+ − le coefficient de la ligne i et de la colonne j est aij = C p +ii+ 1j − 2 avec ( i, j ) ∈ 1, n − p + 1 2 On note d p = det ( Ap ) 1. Calculer les coefficients a1,1 , a1,n − p +1 , an − p +1,1 et an − p +1,n − p +1 2. Calculer

bp+1 = k =0 j k ( −1) p +1− k C p +1a k k =0 C'est-à-dire ℘(p + 1). On en déduit, d'après le principe de récurrence : ¢ ℘(p), ∀p ∈ 0, n j k =0 Ce qui achève la démonstration. Preuve en inversant la matrice des coefficients binomiaux : a0 a1 b0 b1 p k C p bk ∀p ∈ 0, n se traduit alors matriciellement par : k =0 ¢ ¡ Notons An = a2 et Bn = b2 . La relation ap = an bn 1 1 An = MnBn avec Mn = 0 1 2 0 0 1 0 0 0 0 Cn 1 2 Cn Cn Les matrices Mn sont triangulaires

contrôle exclusif peut résulter d’une influence dominante sur une entreprise en vertu d’un contrat ou de clauses statutaires, lorsque l’entreprise dominante est actionnaire ou associée de cette entreprise. Cette dernière condition a été supprimée par la loi n° 2003-706 du 1er août 2003 qui a modifié, sur ce point, l’article L 233-16 du Code de commerce. L’avis n°2004-08 du 6 avril 2004 du CNC propose de modifier dans ce sens le paragraphe 1002 du Règlement 99-02. CONSÉQUENCE : TRAITEMENT SIMILAIRE DANS

adaptées à ces deux types de variables : Loi hypergéométrique Loi binomiale Loi de Poisson Loi de Pascal Loi Normale ou LaplaceGauss Loi de Student Loi du Khi-Deux Loi de Fisher-Snédécor Lois des variables aléatoires discrètes Lois des variables aléatoires continues Ce chapitre étudiera ces différentes lois de probabilités en commençant par les lois des variables aléatoires discrètes. I. LOIS DES VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES Définir la loi de probabilité d’une variable aléatoire

La valeur des déclarations et préambules en droit interne III) Les Libertés publiques et la loi / La compétence et les choix du Législateur A. La justification de la compétence législative 1. Les données formelles 2. Les données matérielles B Le choix du Législateur 1. Le régime répressif 2. Le régime préventif 3. Un régime intermédiaire, la déclaration préalable IV) Les Libertés publiques et la loi / Le contrôle de constitutionnalité A. Le modèle américain 1. L’Affaire Marbury contre Madison