Loi binomiale

discrètes  Variables indicatrices On appelle variable indicatrice de l’évènement A, une variable aléatoire X qui associe à A la valeur 1 et à B la valeur 0. Si P(A)=succès, alors P(B) = q = 1-p (échec), on a : P(X=1)=p P(X=0)=q E(X)=p V(X)=p(1-p).p.q  Loi discrète uniforme Expérience aléatoire associée à X une variable aléatoire avec n résultat possible X(Ω)=(x1,x2,…,xn) La distribution de probabilité de X est uniforme si, ( ) ( ) Paramètre : o o o ( ) ( ( ) ) ( ∑ ∑ ) ( ) ∑ B –

simplement le nombre de Pile sur les n lancers et on a X ∼ B(n, p). Proposition 2.9 (Moments d’une loi binomiale) Si X suit une loi binomiale de paramètres (n, p), alors : E[X] = np & Var(X) = np(1 − p) = npq. Autrement dit, la somme de 2 variables binomiales indépendantes et de même paramètre p suit elle aussi une loi binomiale de paramètre p (voir le corrigé de l’exercice 2.9). Le lien Bernoulli-Binomiale rend ces formules élémentaires : l’espérance est linéaire dans tous les cas et la variance l’est

usuelles Lois de probabilités Notation ( ) Loi Uniforme Loi de Bernoulli ( ) Cadre Équiprobabilité. Cas particulier du tirage d’une boule parmi boules numérotées de à . Associe à chaque boule son numéro. Une épreuve de Bernoulli. Indicatrice du succès. Loi Binomiale ( ) Schéma de Bernoulli : répétition de épreuves de Bernoulli. Compte le nombre de succès obtenus au cours d’un schéma de Bernoulli. Loi Géométrique ( ) Schéma de Bernoulli

image et loi d’une variable al´atoire . e e Cas des variables al´atoires r´elles . . . . . . . . e e 3.4.1 Fonction de r´partition . . . . . . . . . . e 3.5 Lois discr`tes et lois continues . . . . . . . . . . . e 3.5.1 Lois discr`tes . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.5.2 Lois continues . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Les lois usuelles au programme . . . . . . . . . . 3.6.1 Le cas fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2 La loi uniforme discr`te . . . . . . . . . . e 3.6.3 La loi de Bernoulli

X_{i}=S-k)}{\mathbb{P}(\sum_{i=1}^n X_{i}=S)} Si Xi suit une loi de poisson de paramètre λ alors la fonction génératrice vaut \phi_{X_i} (t) =\ e^{\lambda(t-1)}. Avec les propriétés de la fonction génératrice on en déduit que la somme de n variables suivant des lois de poisson de paramètre λ est une loi de Poisson de paramètre nλ. On en déduit les probabilités et \mathbb{P}(X_1=k| \sum_{i=1}^n X_{i}=S)= C^k_S \, \frac{(n-1)^{S-k}}{n^S} X1 suis une loi binomiale B(S, 1/n). La valeur en k=0 nous donne l'estimateur

Loi de Fisher En théorie des probabilités et en statistiques, la loi de Fisher ou encore loi de Fisher-Snedecor ou encore loi F de Snedecor est une loi de probabilité continue[1],[2],[3]. Elle tire son nom des statisticiens Ronald Aylmer Fisher et George Snedecor. La loi de Fisher survient très fréquemment en tant que distribution de l'hypothèse nulle dans des tests statistiques, comme les tests du ratio de vraisemblance, dans les test de Chow utilisés en économétrie, ou encore dans l'analyse de

Mathematica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ED bases des proba lois discrètes lois continues loi Normale TCL, vecteur Risque Test Anova Evaluation Mathematica 2 3 test Mathematica Cours 1 h. CD disponible 1 ED Mathematica https://portail.ensam.eu/sites/TRA-CO/AS/AE/SIMMetz Plan du cours 1. Introduction 2. Bases des probabilités 3. Variables aléatoires (discrètes et continues) 4. Vecteurs aléatoires 5. Convergences en loi 6. Estimation 7. Test 8. Analyse de la variance 3 1) Introduction Probabilités

Avant-propos Ce document est un support de cours pour les enseignements des probabilités et de la statistique. Il couvre l'analyse combinatoire, le calcul des probabilités, les lois de probabilités d'usage courant et les tests d'adéquation à une loi. Ce support correspond approximativement aux enseignements en L2 de la lière Sciences Économiques et Gestion, Administration Économique et Sociale (AES). Un document ne vient jamais du néant. Pour élaborer ce support, je me suis appuyé sur diérentes

Var(x) = 2 =  (x-µ)2.f(x) Loi binomiale f(x) = (■(n@x)) px (1-p)n-x µ = np 2 = np(1-p) n = nb de tirages p = probabilité de succès à chaque tirage x = nb de succès (■(n@x)) = n!/x!(n-x)! 4 conditions : L’expérience est une série de n tirages identiques Deux résultats sont possibles à chaque tirage (succès ou échec) Les probabilités de succès à chaque tirage ne se modifient pas d’un tirage à l’autre Les tirages sont indépendants On peut utiliser la Loi de Poisson où µ = np pour

discrètes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Loi géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Loi de Poisson - Approximation d’une loi binomiale . . 2.4.1 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Approximation d’une loi binomiale par une loi 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .