Loi de Bernoulli

notamment un très grand mathématicien suisse, Daniel Bernoulli, résoudre le paradoxe de St Petersbourg : on joue à pile ou face, si ça tombe sur pile, vous ne gagnez rien, si ça tombe sur face, vous gagnez un euro. Si on perd, on peut rejouer: pile : 0, face : 2. Puis si on perd on peut encore rejouer : pile, 0, face, 4, etc. L'espérance mathématique de ce jeu est infinie. Personne de sensé pourrait vendre un ticket permettant de jouer à ce jeu. Or Bernoulli utilise une fonction d'utilité marginale pour

6 VI. Complétion (la statistique complète) : Définition : Soient T une statistique et une application Une statistique T est dite complète si et seulement si 1- Cas de la famille exponentielle : Théorème : Soit un n-échantillon de X, de loi famille exponentielle d’ordre 1 i.e: h c è (de densité ) si appartient à la alors la statistique 2- Estimateur sans biais de variance uniformément minimum : Définition : Un estimateur minimum si de est dit sans biais de variance

II Limites des enquêtes par sondage : Les limites des enquêtes tiennent essentiellement aux erreurs d’échantillonnage et aux difficultés des désignations d’échantillons. A Erreur d’échantillonnage : Les enquêtes par sondages sont fondées sur la loi de grand nombre. Les extrapolations à la population de référence des grandeurs mesures sur l’échantillon ne peuvent être réalisées avec une précision acceptable qu’à partir d’échantillon de taille suffisamment importante. La méthode de sondage ne

étudie. On a donc, a posteriori du phénomène de hasard, une science analogique du hasard. Ce système présente toutefois certaines limites. L’homme prudent ne peut donner un principe au phénomène de hasard qu’à proportion qu’il puisse le rattacher à une loi rationnelle déjà connue de la science. La capacité novatrice du hasard, distincte de toutes les règles déjà connues n’est pas prise en compte. De plus, on n’a une science du hasard qu’a posteriori. Une telle science du hasard reste impuissante dans

............................... 6 C- Exemples de lois de probabilités discretes...................................................................................... 9 I - La Loi Binomiale ......................................................................................................................... 9 II - La Loi de poisson....................................................................................................................... 9 D - Les lois de probabilités continues ....

Nombre D’AVOGADRO Atome rtout le physicien suisse Daniel Bernoulli (1733), effectuent des calculs en supposant que les gaz sont formés de particules s'entrechoquant, et leurs résultats sont en accord avec l'expérience. C'est la conception « cinétique » des gaz, c'est-à-dire l'explication de la température et de la pression par des particules en mouvement. À ce stade, ressortaient trois notions : les corps chimiques sont décomposables en substances élémentaires ; les gaz sont composés

s'exerce dans une direction perpendiculaire à la direction de l'écoulement. Ces mesures de pressions permettent de constater que l'augmentation de la vitesse d'écoulement s'accompagne d'une diminution de la pression statique (Effet Venturi). Loi de Bernoulli Dans un écoulement d'air supposé incompressible (1), la somme de la pression statique (Ps) et de la pression dynamique (Pd) reste constante le long d'une ligne de courant. Autrement dit la pression totale (Pt) reste constante : Pt = Ps + Pd

fortes chances d’ˆtre proche de ee e e 1 |{i ≤ n, tels que ωi ∈ A}| n avec laquelle un ´v´nement A sera r´alis´ aura de fortes chances d’ˆtre proche de sa e e e e e probabilit´. Plus pr´cis´ment, on montrera dans la section 3.2, le r´sultat suivant (loi e e e e faible des grands nombres) : ∀ ǫ > 0, lim P 1 |{i ≤ n, tels que ωi ∈ A}| − P (A) > ǫ n = 0. n→+∞ N.B. Revenons sur l’exemple du tirage ´quitable d’un individu dans une population. e Le sondage le plus simple sera constitu´ par n tirages

polygone de fréquences • d’un ensemble de rectangles : histogramme • …… Loi de probabilité sur un ensemble fini On associe une loi de probabilité P à un ensemble E = {e1,e2,....,ek } . P est un ensemble de k nombres positifs dont la somme vaut 1. Evènement : on appelle événement un sous-ensemble A de E. P(A) est la somme des probabilités des éléments qui composent A si A est non vide, P(A) vaut 0 si A est vide. Propriétés de la loi de probabilité faisant intervenir un seul évènement : • 0 ≤ P(A) ≤ 1

concernent le système du monde), inspiré des travaux de Clairaut. Examen est fait de la forme des orbites, des planètes, dans les différentes hypothèses de la pesanteur, de la lumière, de la figure de la Terre ; puis un résumé des travaux de Daniel Bernoulli sur les marées est exposé clairement. Elle fait preuve d’indépendance croissante par rapport au système newtonien, notamment dans son traitement de la précession des équinoxes. Elle ne veut pas se laisser prendre par la virtuosité arithmétique de