Loi de Bernoulli

Variables aléatoires : X Loi de probabilités : soit p(xi) = P(X = xi) la probabilité que X = xi ∑ P(X = xi) = 1 si X est discrète, la loi de proba : X=xi x1 x2… P(X=xi) P1 P2… 1 f(x) ≥ 0 ∫f(x)dx = 1 sur tt domaine P(a ≤ X ≤ b) = ∫f(x)dx sur [a,b] si X est continue on définit une fonction f(x) de densité telle que : Fonction de répartition pour une v.a discrète : F(x) = P(X ≤ x) = ∫f(x)dx f(x) = (F(x))’ Propriétés : 0 ≤ F(x) ≤ 1, monotone décroissante, continue à droite. Loi de probabilité simultanée

strictement inférieure à 385 grammes est un pain noncommercialisable, un pain dont la masse est supérieure ou égale à 385 grammes est commercialisable. La masse d’un pain fabriqué par la machine peut être modélisée par une variable aléatoire X suivant la loi normale d’espérance µ = 400 et d’écart type σ = 11. Les probabilités seront arrondies au millième le plus proche Partie A On pourra utiliser le tableau suivant dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche. x P (X x P (X x) 380

pB1 (B2 ) = 1 − 2. On a toujours n = 10. Le joueur r´alise huit fois de suite et de mani`re ind´pendante la mˆme l’exp´rience ` deux issues A et A. e e e e e a La variable al´atoire X qui compte le nombre de fois o` A est r´alis´ suit donc la loi de Bernoulli de param`tres e u e e e 3 . n = 8 et p = p(A) = 10 (a) On en d´duit p(X = 3) = e 8 3 × 3 10 3 × 1− 3 10 8−3 . p(X = 3) ≈ 0, 25 3 E(X) = 2, 4 (b) Le nombre moyen de parties gagn´es est : E(X) = n × p e E(X) = 8 × 10 Et

Autorégulation dans le monde vivant 2 Autorégulation physique 2.1 Thermostat 2.2 Régulateur à boules de James Watt 2.3 Autorégulation du Soleil 3 Autorégulation en chimie 3.1 Principe de Le Chatelier 3.2 Loi d’action de masse et effet tampon 4 Autorégulation en biologie (cas d’un seul organisme, par opposition aux populations) 4.1 Glycémie 4.2 Système hormonal 4.3 Neurotransmetteurs 4.4 Système immunitaire

E = D d’où p(E ) = 1 − p(D) = 1 − 0,0298 = 0,9702. p(A ∩ B) p(A) × p(B) p(A ∩ B) 0,0002 = = 0,01. (en fait = = d. On a p A (B) = p(A) 0,02 p(A) p(A) p(B)). 2. a. On a manifestement une épreuve de Bernoulli avec deux issues (sac sans défaut, sac défecéfectueux). La variable aléatoire X suit donc une loi binomiale de paramètres n = 100 et p = 0,03. k 100 sacs soient défectueux est : 100 0,03k (1 − 0,03)100−k k b. On sait que la probabilité que k, 0 p(X = k) = L’évènement contraire de l’évènement

d’évolution 3. Synthèse Séquence 4 Statistiques 1. Pré-requis 2. Médiane, quartiles, diagrammes en boîte 3. Moyenne, écart-type 4. Synthèse 2 Sommaire général – MA41 p.85 Sommaire Séquence 5 Probabilités p.121 1. Pré-requis 2. Schéma de Bernoulli, loi binomiale 3. Intervalle de fluctuation 4. Synthèse Séquence 6 Les suites p.153 1. Pré-requis 2. Suites 3. Suites arithmétiques 4. Suites géométriques 5. Synthèse Séquence 7 Nombre dérivé Fonction dérivée p.193 1. Pré-requis 2. Fonction dérivée

photocopillage menace l’avenir du livre, car il met en danger son équilibre économique. Il prive les auteurs d’une juste rémunération. En dehors de l’usage privé du copiste, toute reproduction totale ou partielle de cet ouvrage est interdite. » « La loi du 11 mars 1957 n’autorisant, au terme des alinéas 2 et 3 de l’article 41, d’une part, que les copies ou reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective » et, d’autre part, que les analyses

un ensemble fini : - définition et propriétés, - cas de l’équiprobabilité, - exemples. Me42 Variable aléatoire à valeurs réelles dont l’ensemble des valeurs est fini : - loi de probabilité, - espérance mathématique, - variance. La présentation des différentes notions pourra s’appuyer sur des exemples. Me43 Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples. Me44 Fluctuation d’une fréquence selon les échantillons - distribution d’échantillonnage d’une fréquence, - moyenne de la distribution d’échantillonnage

ssi PA(B) = P (B). Espérance variance écart-type d’une loi de probabilité discrète. Avec pi = P (X = xi) 1. E(X) = n ∑ i=1 xi × pi. 2. V (X) = n ∑ i=1 (xi − E(X))2 × pi. 3. V (X) = n ∑ i=1 (x2 i × pi)− E(X)2 = E(X2)− E(X)2. 4. σ = √ V (X). Loi binomiale X ∼ B(n; p) avec n, k ∈ N, 0 6 k 6 n, p ∈ [0; 1]. 1. P (X = k) = ( n k ) pk(1− p)n−k. 2. E(X) = np. 3. V (X) = np(1− p). la phrase. On réitère n fois une même expérience de Bernoulli (...), de manière indépendante, de probabilité de succés

la loi des probabilités totales on a : p(S) = p(S ∩ F) + p S ∩ F = 0, 92 × 0, 95 + 0, 08 × 0, 75 = 0, 874 + 0, 06 = 0, 934. 0, 874 p(S ∩ F) = ≈ b. Il faut trouver la probabilité conditionelle p S (F) = p(S) 0, 934 0, 935 7 ≈ 0, 936. a. Loi de probabilité de B : évènement probabilité bénéfice : b F∩S 0,874 10 F∩S 0,06 5 reste 0,066 0 (ce qui 3. b. On a E(B) = 0, 874× 10+ 0, 06× 5+ 0, 166× 0 = 8, 74+ 0, 30 = 9, 04 représente le bénéfice moyen par jouet). 4. On a une épreuve de Bernoulli de paramètres