Loi de Bernoulli

Arbre des cas possibles : A.1) On utilise la loi des probabilités totales : P(C )=P( A∩C)+P(B∩C) P(C)=P (A )×PA(C )+P (B)×PB(C) P(C)=x×0,98+(1�x )×0,95 P (C)=0,03 x+0,95 A.2) P(C) = 0,96 0,03 x+0,95=0,96 0,03 x=0,01 x= 1 3 P( A)= 1 3 donc P(B)=1�P( A)= 2 3 soit P(B) P( A) =2 La probabilité que la tablette provienne de la chaîne B est le double de la probabilité que la tablette provienne de la chaîne A. Partie B B.1) La durée de vie pour la loi exponentielle de paramètre λ est E(Z)= 1 λ E(Z)=5

(kg) t : durée de l'écoulement (s)  : masse volumique (kg.m – 3 ) Débit massique Qm = Qm =  Q S1 et S2 : sections (m 2) v1 et v2 : vitesse du fluide (m.s – 1) Relation de continuité S1 v1 = S2 v2 Relation de Bernoulli  v 2 +  g z + p = Constante v : vitesse du fluide (m.s – 1 ) : masse volumique du fluide (kg.m – 3 ) z : hauteur de la ligne neutre (m) p : pression du fluide (Pa) -------------------------------------------------

la loi des grands nombres : voir Chapitre 12, Activité 2, page 293.) 2. a) Lors du lancer de deux dés parfaits, une issue est un couple du type (x ; y) où x est le numéro du dé 1 et y celui du dé 2 ; toutes ces issues sont équiprobables. Le tableau indique les sommes correspondantes : Dé 1 Nombre de réalisations 55 60 65 70 75 80 85 90 Remarque : lors du lancer de trois pièces équilibrées, les 3 probabilités d’obtenir 1 fois Pile ou 2 fois Pile sont égales à 8 (voir Chapitre 13 : loi binomiale)

probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur x : p(x) = p(X = x) L’ensemble des valeurs admissibles x et des probabilités correspondantes p(x) constitue une distribution de probabilité discontinue. La relation entre x et p(x) est appelée loi de probabilité. Pour toutes les distributions de probabilités dont les valeurs x correspondent à des événements complémentaires, le total des probabilités est égal à 1.  p( x)  1 3 Adil ELMARHOUM Cours de statistique III La distribution

représentatifs Chapitre 6 : 6.1 6.2 6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.2.4 6.2.5 6.2.6 6.3 6.4 6.5 Variables aléatoires Définition d’une variable aléatoire Variables aléatoires finies Représentation d’une loi de probabilité finie Espérance mathématique d’une variable finie Variance et écart-type d’une variable finie Loi de probabilité produit Variables aléatoires indépendantes Fonction de répartition Variables infinies dénombrables (hors programme) Variables aléatoires continues Extension de la notion de variable

probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur x : p(x) = p(X = x) L’ensemble des valeurs admissibles x et des probabilités correspondantes p(x) constitue une distribution de probabilité discontinue. La relation entre x et p(x) est appelée loi de probabilité. Pour toutes les distributions de probabilités dont les valeurs x correspondent à des événements complémentaires, le total des probabilités est égal à 1.  p( x)  1 3 Adil ELMARHOUM Echantillonnage et estimations La distribution

-gonflement et action du gel -percolation à travers les barrages -tassement des structures -instabilités des talus dans l'argile 1-4- Charge hydraulique En hydrodynamique, on appelle charge hydraulique en un point m la quantité défini par la loi de Bernoulli : V : Vitesse de l’eau. g : Accélération de la pesanteur. U : Pression de l’eau Z : Cote du point considéré par rapport à une surface de référence, peut être négatif ou positif 1- La charge hM s’exprime en m. 2- Dans les sols les vitesses

suite u n  est croissante alors pour tout entier n  n 0 , on a u n  u n 0 donc u n  A. L’intervalle I contient donc tous les termes de la suite u n  à partir du rang n 0 . Donc n lim u n  . ROC 4 (au programme) Théorème (Inégalité de Bernoulli) Pour tout réel a strictement positif, pour tout entier naturel n, 1  a n  1  na. Preuve Soit a un réel strictement positif. Démontrons par récurrence que la propriété P n : " 1  a n  1  na" est vraie pour tout entier naturel n. Initialisation

Probabilité Définition : On définit une loi de probabilité p sur  si à chacune des issues e1 ; e2 ; ….. ; en d’une expérience aléatoire, on associe un unique réel noté respectivement p 1 = p  {e 1 } , p 2 = p  {e 2 } , …, p n = p  {a n } , avec les propriétés suivantes : • pour tout i, 0  p i 1 • ∑ p {e i } =1 i= 1 n On représente la loi de probabilité par un tableau : ei e1 e2 ... p  { e i}  p1 p2 ... en pn Lorsqu’une loi de probabilité p est définie sur , à chaque

d’une loi de probabilité finie Espérance mathématique d’une loi finie Variance et écart-type Loi de probabilité produit Variables aléatoires indépendantes Fonction de répartition Variables infinies dénombrables Variables aléatoires continues Chapitre 6 : Exemples de distributions 6.1 Lois discrètes 6.1.1 Loi de Bernoulli 6.1.2 Loi binomiale 6.2 Lois continues 6.2.1 Loi normale 6.2.1.1 Définition 6.2.1.2 Propriétés 6.2.2 Loi du χ2 (chi-2) 6.2.2.1 Définition 6.2.2.2 Propriétés 6.2.3 Loi de Student